Question

Em que momento a função y = x² - 2x – 3 é menor que zero?

A Y < 0, quando x = -1 ou x = 3.
B y < 0, quando x > 3
C y  0, quando x < -1
D y < 0, quando -1 < x < 3. ​

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades para resolução de inequações quadráticas.

Seja a função $y=f(x)$ onde $f(x)=ax^2+bx+c,~a\neq0$. Seu gráfico é uma parábola e o sinal do coeficiente $a$ determina para qual sentido sua concavidade está voltada.

• Quando $a>0$, a função apresenta concavidade voltada para cima e ponto mínimo em seu vértice.
• Quando $a<0$, a função apresenta concavidade voltada para baixo e ponto máximo em seu vértice.

Como podemos ver, na função $y=x^2-2x-3$, seu coeficiente $a$ é positivo e igual a  $1$, dessa forma, terá concavidade voltada para cima. Para determinarmos suas raízes (se houverem), fazemos:

$x^2-2x-3=0\\\\\\ x^2-2x+1-4=0\\\\\\ \underbrace{x^2-2x+1}_{(x-1)^2}=4\\\\\\\sqrt{(x-1)^2}=\sqrt{4}\\\\\\ x-1=\pm2\\\\\\ x=-1~~\bold{ou}~~x=3$

Dessa forma, esta função apresenta duas raízes reais diferentes. Nestas condições, o intervalo no qual sua imagem é negativa, isto é, $f(x)<0$ está compreendido entre estas raízes.

Facilmente, conclui-se que $y<0,~\text{quando} -1<x<3}$ e esta é a resposta contida na letra d).

Answer 2

$y = x^2- 2x- 3\\x^2-2x-3<0$

Raízes:

-1 e 3

Como a concavidade está para cima, e ele quer os valores menores que 0, esses valores serão os que estão entre as raízes, mas não incluindo elas:

+++++++ -1-------------3++++++++

Assim: y<0 ∀ x ∈ -1<x<3

D y < 0, quando -1 < x < 3. ​