Question

Em que condições as retas de equações px-y-3p=0 e 2x-y+6=0 tem mais de um ponto comum?

Answer 1

As retas só podem ser iguais. Já que y=px-3p e y=2x+6 o p=-2. Iguala-se -3p=6, Então p=-2.

Dessa forma, as retas só pderão se cruzar mais de uma vez se forem uma em cima da outra, ou somente em um ponto, já que são retas.

Espero ter ajudado.

Answer 2

Olá, Jeanderson.

 

$<var>\begin{cases}px-y-3p=0 \\ 2x-y+6=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}px-y=3p\\2x-y=-6 \end{cases}\\\\\\ \text{Vamos calcular o determinante deste sistema linear:}\\\\ D=\begin{vmatrix} p& -1\\ 2& -1 \end{vmatrix}=-p-(-2)=-p+2</var>$

 

Para que o sistema seja possível e indeterminado, ou impossível, devemos ter:

 

$<var>D=0 \Rightarrow =-p+2=0 \Rightarrow \boxed{p=2}</var>$

 

Ocorre que, se  $p=2,$  ficamos com um sistema impossível, pois:

 

$<var> \begin{cases}2x-y=6\\2x-y=-6 \end{cases}</var>$

 

Então, não é possível haver mais de um ponto comum, pois:

 

$<var>\begin{cases}\text{Se }p=2,\text{ o sistema \'e imposs\'ivel, sem solu\c{c}\~ao.} \\ \text{Se }p\neq 2,\text{ o sistema \'e poss\'ivel e determinado, com solu\c{c}\~ao \'unica.}\end{cases}</var>$

 

Em outras palavras: ou as retas nunca se encontram ou se encontram em um único ponto.