Question

Em quanto tempo um capital aplicado, no regime de juros compostos, a uma taxa de 21% ao Mês resulta num montante igual ao dobro do valor inicial?

Answer 1

Nosso montante inicial será chamado de M. Queremos saber quando o montante final será 2P, vamos lá:

$M=C*(1+i)^{n-1}$

$2P=P*(1+i)^{n-1}$

Dividindo a equação por P:

$2=(1+i)^{n-1}$

Aplicando a função $log_2$:

$log_{2}(2)=log_{2}[(1+i)^{n-1}]$

Como $log(a^{n})=n*log(a)$

$log_{2}(2)=(n-1)*log_{2}(1+i)$

$log_{2}(2)=n*log_{2}(1+i)-log_{2}(1+i)$

$log_{2}(2)+log_{2}(1+i)=n*log_{2}(1+i)$

Dividindo a equação por $log_{2}(1+i)$:

$\frac{log_2(2)}{log_2(1+i)} +1 = n$


Sabemos que $log_a(b) = \frac{log_c(b)}{log_c(a)}$, então...

$log_{(1+i)}(2) + 1 =n$

Substituindo o valor de i dado na questão, temos:

$log_{(1+0,21)}(2) + 1 =n$

$log_{(1,21)}(2) + 1 =n$

$log_{(1,21)}(2)$  é aproximadamente 3,63627. Então

n ~ 4,6 meses