Question

Em quantas partes iguais esta dividido o intevalo de 0 e 1 ?

Answer 1

Resposta:

infinitas

Explicação passo-a-passo:

O intervalo (0,1) está dividido em infinitas partes. Além disso, acontece algo mais interessante ainda:

Todos os números reais "cabem" dentro do intervalo aberto (0,1).

Isto signfica de que 0 até 1 você tem a mesma quantidade de números que de  até .

Uma das noções mais inportantes para dizer que dois conjuntos tem a mesma quantidade de números é a noção de bijetividade.

Uma função é bijetiva apenas se ela for injetiva e sobrejetiva (ao mesmo tempo).

Vamos explicar cada termo:

Uma função, por ser função, terá todos os elementos de x produzindo uma imagem em y (não precisa ser todo y).

Se a função for injetiva, para cada valor de y, existe apenas um valor de x possível

por exemplo, x² não é injetiva porque . Temos 2 valores de x dando um único valor de y e por isso não é injetiva)

Para ser sobrejetiva, tem que "cobrir a reta y toda".

por exemplo, x² não é sobrejetiva porquenão existe  ou

Uma função bijetiva tem que cobrir a reta toda (sobrejetiva) e ter apenas um valor de x para cada valor de y (injetiva).

Com isso podemos fazer umas construções interessantes:

Os números inteiros  tem a mesma quantidade de números que os números naturais  porque podemos escrever a seguinte bijeção:

Ou seja, definimos que 1 leva para zero, depois disso, os pares levam para números positivos e os ímpares para números negativos.

Como a função é bijetiva (tem como fazer a volta dos inteiros para os naturais) dizemos que  e  possuem a "mesma quantidade" de números.

E quanto aos números reais?

Podemos usar a função tangente  para mostrar que todos os números reais cabem dentro do intervalo

Isto é fácil de ver por causa do grafico da função.

e  e além disso, todos os valores dentro do intervalo são números reais.

E o intervalo (0,1)?

Pode ser escrito a bijeção

e teremos o gráfico da imagem.

Podemos ver que para valores de x entre 0 e 1, teremos valores de y entre  e

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