Question

Em qualquer triângulo não retângulo, a soma das tangentes dos três ângulos internos é igual ao seu produto, ou seja:
tg  + tg B + tg C = tg  . tg B . tg C
Prove que esse resultado é verdadeiro.

Answer 1

$A+B+C=\pi\iff tg(A+B+C)=tg\pi\\ \iff tg[(A+B)+C]=0\\ \iff\dfrac{tg(A+B)+tgC}{1-tg(A+B).tgC}=0 \ \ \ \ [tg(A+B).tgC \neq 1]\\ \iff tg(A+B)+tgC=0\\ \iff \dfrac{tgA+tgB}{1-tgA.tgB}+tgC=0\\ \\ \iff tgA+tgB + tgC-tgA.tgB.tgC=0\\ \iff tgA+tgB+tgC=tgA.tgB.tgC$

Note que temos que o triângulo não deve ser retângulo por ter um ângulo A = 90º, que não admite tangente.