Question

Em qualquer base, o logaritmo do quociente de dóis números reais e positivos é igual a diferença entre os logaritmo desses númer
os

Answer 1

Resposta:

Olá pessoal! Tudo certo?

É fato que a resolução da maioria dos logaritmos costuma ser complicada sem o uso de uma calculadora científica. O que fazer então quando aquelas expressões repletas de logaritmos aparecem nas provas de matemática do ENEM e dos vestibulares? É nesses momentos que precisamos usar algumas cartas na manga: as consequências da definição dos logaritmos e as suas propriedades operatórias! Vocês verão nesse texto, que quando o logaritmando de um logaritmo qualquer é formado por um produto, um quociente ou uma potência, é possível reescrever a expressão de uma maneira diferente, o que em alguns casos, pode ser crucial para a resolução de questões.

Mas não são só os logaritmos que contam com métodos alternativos que facilitam a resolução de exercícios. Para tudo há um caminho mais fácil, e quando se trata de matemática, esse caminho certamente se encontra na plataforma do Professor Ferretto! Todas as videoaulas e resoluções de exercícios do curso, são produzidas de forma didática, e com foco na interpretação, para que o aluno possa enfrentar as provas do ENEM e dos vestibulares encarando até mesmo as questões de matemática mais difíceis com tranquilidade! Se vocês não conhecem a plataforma, basta acessar o site para conferir todos os benefícios!

1. LOGARITMO DO PRODUTO

Numa mesma base a (a > 0 e a ≠ 1), o logaritmo do produto de dois números reais e positivos é igual a soma dos logaritmos desses números.

De acordo com essa propriedade, quando temos um único logaritmo de um produto entre dois números b e c, esses dois números b e c podem se separar em dois logaritmos distintos, cuja base será a mesma do logaritmo “original”. Ou seja, uma multiplicação em um mesmo logaritmo, pode se transformar em uma adição de dois logaritmos distintos.

Aí é muito importante lembrarmos, que as restrições para a base a e para os logaritmandos b e c ainda estão valendo! a deve ser sempre um valor maior que zero e diferente de um, da mesma forma que o logaritmando deve ser sempre um valor positivo. É por isso que b e c são mencionados como dois números reais positivos (b > 0 e c > 0).

Abaixo, seguem dois exemplos numéricos do uso desta propriedade. Olhem só:

Observem no último exemplo, que esta propriedade não se restringe ao logaritmo do produto de apenas 2 termos. Ela pode ser utilizada para o produto de n termos, desde que ao aplicar a propriedade, o número de multiplicações seja convertido no mesmo número de adições de n logaritmos distintos.

O tamanho do quadro acima faz referência ao tamanho do problema que vocês enfrentarão se adotarem como igual alguma das sentenças acima. Nós estudamos que uma multiplicação em um mesmo logaritmo, pode se transformar em uma adição de dois logaritmos distintos, mas não o contrário, como mostra a primeira sentença do quadro. Uma soma em um mesmo logaritmo não pode se transformar em um produto de dois logaritmos distintos, porque essas operações não resultam no mesmo valor. O que realmente é válido, é encontrarmos uma adição de dois logaritmos de mesma base, e transformarmos isso em um único logaritmo de um produto, o que é exatamente o processo inverso da propriedade que acabamos de aprender:

Já a segunda sentença apresentada no quadro, nos mostra o quão importante é a utilização dos parênteses em uma expressão matemática. Sem o uso deles, o produto entre dois termos no logaritmando não é garantido, e o que se tem, na verdade, é um valor numérico multiplicando o logaritmo como um todo. Por isso, quando houver qualquer valor numérico se relacionando apenas com o logaritmando de um logaritmo, não esqueçam de utilizar os parênteses! Contudo, se esse mesmo valor numérico estiver se relacionando com o logaritmo como um todo, seja através de uma adição, subtração, multiplicação, ou de qualquer outra operação, então é melhor seguir a dica de representação abaixo:

2. LOGARITMO DO QUOCIENTE

Propriedade operatória chamada logaritmo do quociente

Numa mesma base a (a > 0 e a ≠ 1), o logaritmo do quociente de dois números reais e positivos é igual à diferença entre os logaritmos desses números.

Da mesma forma que na propriedade anterior, as restrições para os valores da base a (a > 0 e a ≠ 1) e para os valores dos logaritmandos b e c (b > 0 e c > 0) permanecem valendo. E o mais interessante dessa propriedade, é que podemos utilizar a semelhança entre o sinal de divisão e o sinal de subtração para memorizar que uma divisão em um mesmo logaritmo gera uma subtração de dois logaritmos distintos. É claro que realizar o processo inverso da propriedade também é válido, mas transformar uma subtração em um mesmo logaritmo em uma divisão de dois logaritmos distintos é completamente incorreto!