Question

Em quais pontos o gráfico da função f(x) = e^(x*ln(x)-x) possui reta tangente horizontal?

Answer 1

A função dada por $f(x) = \textrm{e}^{x\ln x-x}$ está definida para $x>0$, uma vez que o argumento do logaritmo deve ser positivo.

A derivada de $f$ é:

$f'(x) = (\textrm{e}^{x\ln x-x})' = \textrm{e}^{x\ln x - x}(x\ln x - x)' = \textrm{e}^{x\ln x - x}[(x\ln x)' - x'] = \\\\= \textrm{e}^{x\ln x - x}[x'\ln x + x(\ln x)'-1] = \textrm{e}^{x\ln x - x}\left(\ln x + x\times\dfrac{1}{x}-1\right)=\textrm{e}^{x\ln x - x}\ln x$

Para a reta tangente ser horizontal, devemos ter $f'(x) = 0$, ou seja:

$f'(x) = 0 \iff \textrm{e}^{x\ln x - x}\ln x = 0 \iff \ln x = 0 \iff x = 1,$

uma vez que

$\textrm{e}^{x\ln x - x} \neq 0\quad \forall x>0.$

Então o gráfico de $f$ tem reta tangente horizontal no ponto de abcissa $x=1$ e ordenada $f(1) = \textrm{e}^{1\times\ln 1 -1 } = \textrm{e}^{-1}$, ou seja, o ponto de coordenadas $(1, \textrm{e}^{-1})$.