Question

Em quais dos pontos as funções quadráticas abaixo se interceptam?


f (x) = x² + x + 1

g (x) = x² + 4x + 2


Obs: Respostas aceitas somente com as devidas explicaçoes. Obrigada! ​

Answer 1

Explicação passo-a-passo

Igualando f(x) e g(x), temos:

x² + x + 1 = x² + 4x + 2

x² + 4x + 2 = x² + x + 1

x² - x² + 4x - x = 1 - 2

3x = -1

x = -1/3

Substituindo em f(x):

f(-1/3) = (-1/3)² + (-1/3) + 1

f(-1/3) = 1/9 - 1/3 + 1

f(-1/3) = (1 - 3 + 9)/9

f(-1/3) = 7/9

Assim, as funções f(x) e g(x) se interceptam no ponto (-1/3, 7/9)

Answer 2

Função quadrática

É toda função cuja lei é

$\mathsf{f(x)=ax^2+bx+c}\\\mathsf{com~a, b~e~c\in\mathbb{R}~e~a\ne0}$

O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada parábola. Se o termo a>0 a parábola Tem concavidade voltada para cima e atinge um valor mínimo em $\mathsf{y_{v}=-\dfrac{\Delta}{4a}}$ quando $\mathsf{x_{v}=-\dfrac{b}{2a}}$. Se a<0 a para parábola tem concavidade para voltada para baixo e assume um valor máximo em $\mathsf{y_{v}=-\dfrac{\Delta}{4a}}$ quando $\mathsf{x_{v}=-\dfrac{b}{2a}}$

As raízes da função são os valores de x para os quais f(x)=0 e depende do discriminante ∆ a existência das mesmas. Se ∆>0 a função admite duas raízes reais e distintas e a parábola interceptará o eixo x nos pontos

$\mathsf{A(x_{1},0)~e~B(x_{2},0)}$

Sendo $\mathsf{x_{1}~e~x_{2}}$ as raízes da função. Se ∆=0 a função tem uma uníca raíz real e a parábola tangencia o eixo x. Se ∆<0

A função não admite raízes reais e a parábola não intercepta o eixo x. O ponto

$\mathsf{V(x_{v},y_{v})}$ é chamada de vértice da função ou eixo de simetria e divide a parábola ao meio.

Intersecção de curvas

Duas curvas se interceptam quando existe um valor de x de modo que as funções sejam iguais.

Por exemplo: considere duas funções f(x)=x² e g(x)=2x. Essas funções admitem o mesmo valor quando x=2 ou x=0.De modo prático para encontrar os valores de x que tornam as funções iguais basta fazer f(x)=g(x) e resolver a equação proposta.

$\dotfill$

$\mathsf{f(x)=x^2+x+1}\\\mathsf{g(x)=x^2+4x+2}$

Para achar o ponto de intersecção vamos igualar as funções e resolver a equação :

$\mathsf{g(x)=f(x)}\\\mathsf{x^2+4x+2=x^2+x+1}\\\mathsf{x^2-x^2+4x-x=1-2}\\\mathsf{3x=-1}\\\mathsf{x=-\dfrac{1}{3}}$

$\mathsf{f(-\frac{1}{3})=(-\dfrac{1}{3})^2+(-\dfrac{1}{3})+1}\\\mathsf{f(-\frac{1}{3})=\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{3}+1}\\\mathsf{f(-\frac{1}{3})=\dfrac{1-3+9}{9}}\\\mathsf{f(-\frac{1}{3})=\dfrac{7}{9}}$

Logo o ponto de intersecção é

$\boxed{\mathsf{P(-\dfrac{1}{3},\dfrac{7}{9})}}$