Question

"Em P2, o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2 e de coeficientes reais, considere a base: B = {3x² – 2, –2x + 1, x² – 2x + 8}. Escreva u = –x² – 7 na base B."

Answer 1

Resposta:

$u]_B=x-1$

Explicação passo-a-passo:

Sendo uma base, qualquer vetor de $P_2(\mathbb{R})$ pode ser escrito como combinação linear dos elementos de B. Dessa forma, existem escalares $a_1$, $a_2$ e $a_3$ tais que:

$u=a_1(3x^2-2)+a_2(-2x+1)+a_3(x^2-2x+8)$

O vetor $u$ na base B é o vetor cujas componentes são os coeficientes  $a_1$, $a_2$ e $a_3$, ou seja, $u]_B=a_1x^2+a_2x+a_3$. Desenvolvendo a equação:

$-x^2-7=a_1(3x^2-2)+a_2(-2x+1)+a_3(x^2-2x+8)$

$-x^2-7=3a_1x^2-2a_1-2a_2x+a_2+a_3x^2-2a_3x+8a_3$

$-x^2-7=(3a_1+a_3)x^2+(-2a_2-2a_3)x+(-2a_1+a_2+8a_3)$

Basta agora igualarmos os coeficientes, ficando assim com o seguinte sistema:

$\left\{\begin{matrix}3a_1+a_3=-1\\-2a_2-2a_3=0\\-2a_1+a_2+8a_3=-7\end{matrix}\right.$

Para simplificar o sistema, vamos dividir a 2º equação por -1/2, ficando com:

$\left\{\begin{matrix}3a_1+a_3=-1\\a_2+a_3=0\\-2a_1+a_2+8a_3=-7\end{matrix}\right.$

Vai do seu critério escolher a forma como irá resolver este sistema (regra de Cramer, escalonamento, substituição, etc). No meu caso irem optar por uma substituição. Da 1º equação, podemos obter que $a_1=(-1-a_3)/3$ e da 2º equação tiramos que $a_2=-a_3$. Substituindo esses valores na 3º equação, achamos que:

$-2\cdot\frac{-1-a_3}{3}+(-a_3)+8a_3=-7$

$\frac{2(1+a_3)}{3}+7a_3=-7$

Multiplicando ambos os lados da igualdade por 3:

$2(1+a_3)+21a_3=-21$

$2+2a_3+21a_3=-21$

$23a_3=-23$

$a_3=-1$

Tiramos daí que $a_2=-(-1)=1$ e $a_1=[-1-(-1)]/3=0$. Com isso concluímos que $u]_B=x-1$.