Question

Em matemática, integral de linha é uma integral em que a função a ser integrada é calculada ao longo de uma curva. Tal função pode ser um campo escalar ou um campo vetorial. Considerando a literatura base apresentada determine o valor aproximado de:

Onde C é uma curva representada por:
(ANEXO)

Answer 1

Resposta:

$\dfrac{ 13^{\frac{3}{2}} - 1}{3} \approx 15,29$

Explicação passo-a-passo:

Queremos calcular a integral

$\displaystyle \int_C (x+2) \, ds$

Onde C é a curva

$\vec r(t) = \left(t, \dfrac{4}{3}t^{\frac 32}, \dfrac{t^2}2\right)$

com t no intervalo [0,2]

Para resolver, primeiro calculamos o vetor tangente a curva:

$\dfrac{d}{dt}\vec r(t) = \left(1, 2t^{\frac 12}, t \right)$

$\dfrac{d}{dt}\vec r(t) = \left(1, 2t^{\frac 12}, t \right) \Longrightarrow \dfrac {dx}{dt} = 1, \, \dfrac {dy}{dt} = 2 t^{\frac 12}, \, \dfrac {dz}{dt} = t$

Agora basta substituir lembrando que

$\displaystyle \int_C f(x,y,z) \, ds = \int_a^b f(x(t), y(y), z(t)) \sqrt{ \left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2 +\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2 +\left(\dfrac{dz}{dt}\right)^2 } dt$

Logo obtemos:

$\displaystyle \int_C x+2) \, ds &= \int_0^2 (t+2) \sqrt{ 1 +4t +t^2 } dt = \int_0^2 (t+2) \sqrt{ (t+2)^2 - 3 } dt = \\[5ex]&= \left. \dfrac{ \left( (t+2)^2 - 3 \right)^{\frac 32 }}{3} \right|_{t=0}^{t=2} = \dfrac{ 13^{\frac{3}{2}} - 1}{3}$

Obs.: Você pode resolver a integral

$\displaystyle \int_0^2 (t+2) \sqrt{ 1 +4t +t^2 } dt$

Usando a substituição u = t²+4t+1. Nesse caso temos du = 2(t+2) dt e a integral fica:

$\displaystyle \int_0^2 (t+2) \sqrt{ 1 +4t +t^2 } dt = \int_1^{13} \dfrac{\sqrt u}{2} \, du = \dfrac{u^{\frac32}}{3} \Bigg|_{u = 1}^{u = 13} = \dfrac{13^{\frac 32}-1}{3}$