Matemática, perguntado por alexsandromuniz, 10 meses atrás

Em matemática, integral de linha é uma integral em que a função a ser integrada é calculada ao longo de uma curva. Tal função pode ser um campo escalar ou um campo vetorial. Considerando a literatura base apresentada determine o valor aproximado de:

Onde C é uma curva representada por:

Segue em imagem os valores numéricos

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Usuário anônimo
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Fazendo esta integral de linha com substituição, temos que esta integral vale aproximadamente 15,29.

Explicação passo-a-passo:

Integrais de linha podem ser calculadas da seguinte forma:

I=\int_{C}f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}dt

Substituindo a nossa função por em f(x,y,z) e fazendo as derivadas da nossa parametrização da curva temos que:

x(t)=t

\frac{dx}{dt}=1

y(t)=\frac{4}{3}t^{\frac{3}{2}}

\frac{dy}{dt}=2t^{\frac{1}{2}}

z(t)=\frac{1}{2}t^2

\frac{dz}{dt}=t

Assim nossa integral fica:

I=\int_{C}f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}dt

I=\int_{0}^{2}(x+2)\sqrt{\left(1\right)^2+\left(2t^{\frac{1}{2}}\right)^2+\left(t\right)^2}dt

I=\int_{0}^{2}(t+2)\sqrt{1+4t+t^2}dt

Agora vamos fazer uma substituição da seguinte forma:

1+4t+t^2=u

(2t+4)dt=du

0<t<2\rightarrow 1<u<13

Assim ficamos com:

I=\int_{0}^{2}(t+2)\sqrt{1+4t+t^2}dt

I=\int_{0}^{2}\frac{2t+4}{2}\sqrt{1+4t+t^2}dt

I=\frac{1}{2}\int_{1}^{13}\sqrt{u}du

Agora esta se tornou uma integral simples de polinomio:

I=\frac{1}{2}\int_{1}^{13}u^{\frac{1}{2}}du

I=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{13}

I=\frac{1}{3}\left[(13)^{\frac{3}{2}}-1\right]

I=\frac{13\sqrt{13}-1}{3}

Aproximando raiz de 13 de 3,6, temos que:

I=\frac{13\sqrt{13}-1}{3}

I=\frac{13.3,6-1}{3}

I=\frac{45,872}{3}

I=15,29

Assim temos que esta integral vale aproximadamente 15,29.

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