Question

Em matemática, integral de linha é uma integral em que a função a ser integrada é calculada ao longo de uma curva. Tal função pode ser um campo escalar ou um campo vetorial. Considerando a literatura base apresentada determine o valor aproximado de:

Onde C é uma curva representada por:

Segue em imagem os valores numéricos

Answer 1

Fazendo esta integral de linha com substituição, temos que esta integral vale aproximadamente 15,29.

Explicação passo-a-passo:

Integrais de linha podem ser calculadas da seguinte forma:

$I=\int_{C}f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}dt$

Substituindo a nossa função por em f(x,y,z) e fazendo as derivadas da nossa parametrização da curva temos que:

$x(t)=t$

$\frac{dx}{dt}=1$

$y(t)=\frac{4}{3}t^{\frac{3}{2}}$

$\frac{dy}{dt}=2t^{\frac{1}{2}}$

$z(t)=\frac{1}{2}t^2$

$\frac{dz}{dt}=t$

Assim nossa integral fica:

$I=\int_{C}f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}dt$

$I=\int_{0}^{2}(x+2)\sqrt{\left(1\right)^2+\left(2t^{\frac{1}{2}}\right)^2+\left(t\right)^2}dt$

$I=\int_{0}^{2}(t+2)\sqrt{1+4t+t^2}dt$

Agora vamos fazer uma substituição da seguinte forma:

$1+4t+t^2=u$

$(2t+4)dt=du$

$0<t<2\rightarrow 1<u<13$

Assim ficamos com:

$I=\int_{0}^{2}(t+2)\sqrt{1+4t+t^2}dt$

$I=\int_{0}^{2}\frac{2t+4}{2}\sqrt{1+4t+t^2}dt$

$I=\frac{1}{2}\int_{1}^{13}\sqrt{u}du$

Agora esta se tornou uma integral simples de polinomio:

$I=\frac{1}{2}\int_{1}^{13}u^{\frac{1}{2}}du$

$I=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{13}$

$I=\frac{1}{3}\left[(13)^{\frac{3}{2}}-1\right]$

$I=\frac{13\sqrt{13}-1}{3}$

Aproximando raiz de 13 de 3,6, temos que:

$I=\frac{13\sqrt{13}-1}{3}$

$I=\frac{13.3,6-1}{3}$

$I=\frac{45,872}{3}$

$I=15,29$

Assim temos que esta integral vale aproximadamente 15,29.