Question

em limites
Determine, se existir, o valor de:

Answer 1

Para resolver limites no infinito, geralmente colocamos a potência de maior expoente do denominador em evidência (em cima e embaixo):

$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{8x^{5}-x^{2}+8}{3-x^{2}}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x^{2}(8x^{3}-1+\frac{8}{x^{2}})}{x^{2}(\frac{3}{x^{2}}-1)}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{8x^{5}-x^{2}+8}{3-x^{2}}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{8x^{3}-1+\frac{8}{x^{2}}}{\frac{3}{x^{2}}-1}$

Quando x --> - infinito, as frações (8 / x²) e (3 / x²) tendem à zero. Então, ficaríamos com (8x³ - 1) no denominador, que crescerá indeterminadamente, em módulo, mas será negativo (números negativos elevados a expoentes ímpares dão números negativos). O numerador será constante e igual a -1, que cortará o sinal de menos, ficando com:

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{8x^{5}-x^{2}+8}{3-x^{2}}=\infty}}$
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Sei que a explicação pode ter ficado meio vaga, então resolverei de outro modo

$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{8x^{5}-x^{2}+8}{3-x^{2}}$

Veja que, se tentarmos uma substituição direta (Não poderíamos substituir, mas fazendo mentalmente), chegaríamos numa indeterminação do tipo ∞/∞, então podemos aplicar a Regra de L'Hospital, desde que o limite da direita exista:

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}}}}$

Aplicando a regra:

$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{8x^{5}-x^{2}+8}{3-x^{2}}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{5\cdot8x^{4}-2x+0}{0-2x}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{8x^{5}-x^{2}+8}{3-x^{2}}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{40x^{4}-2x}{-2x}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{8x^{5}-x^{2}+8}{3-x^{2}}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{-20x^{4}+x}{x}$

Colocando x em evidência no numerador e simplificando:

$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{8x^{5}-x^{2}+8}{3-x^{2}}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x\cdot(-20x^{3}+1)}{x}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{8x^{5}-x^{2}+8}{3-x^{2}}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}(-20x^{3}+1)$

A função cresce indefinidamente quando x cresce indefinidamente.
Note que x³ --> -∞ quando x --> -∞, então -20x³ --> ∞ quando x --> -∞:

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{8x^{5}-x^{2}+8}{3-x^{2}}=\infty}}$

Answer 2

Nos limites com x tendendo ao infinito basta considerar o termo de maior grau e desconsiderar o resto. Portanto:

$\lim_{x \to -\infty} \frac{8x^5-x^2+8}{3-x^2} \\ \\ \lim_{x \to -\infty} \frac{8x^5}{-x^2} \\ \\ \lim_{x \to -\infty} -8x^3 \\ \\ \lim_{x \to -\infty} -8(-\infty)^3 \\ \\ \lim_{x \to -\infty} -8(-\infty) \\ \\ \lim_{x \to -\infty} +\infty$