Question

Em janeiro de 2010, certa indústria deu férias coletivas a seus funcionários, e a partir de fevereiro recomeçou sua produção. Considere que a cada mês essa produção cresceu em progressão aritmética, que a diferença de produção dos meses de abril e outubro de 2010 foi de 420 itens, e que em outubro a produção foi de 1120 itens. Desta forma, pode-se concluir que o número de itens produzidos em agosto de 2010 foi:

Answer 1

Pode-se concluir que o número de itens produzidos em agosto de 2010 foi de 980 itens.

Sabemos que a produção dos meses de fevereiro a outubro são dados em progressão aritmética de razão desconhecida. Os termos de uma PA podem ser escritos em função do primeiro termo e da razão:

a2 = a1 + r

a3 = a1 + 2.r

etc

Então, sendo abril o terceiro termo e outubro o novo termo, temos:

a9 - a3 = a1 + 8.r - a1 - 2.r = 420

6.r = 420

r = 70

Sabemos também que outubro teve uma produção de 1120 itens, logo, a produção em agosto (sétimo termo) será:

a9 = a1 + 8.r

1120 = a1 + 8.70

a1 = 560 itens

a7 = 560 + 6.70

a7 = 980 itens

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Answer 2

Resposta:

O número de itens produzidos em agosto de 2010 foi 980.

Explicação passo-a-passo:

A questão diz que, a diferença de produção dos meses de abril e outubro foi de 420 itens, e que em outubro a produção foi de 1.120 itens.

Subtraindo a diferença encontraremos o valor da produção de abril:

$1120 - 420 = 700$

A produção de abril foi de 700 itens.

De fevereiro à outubro temos 9 termos:

• Sendo o 9° termo outubro, com o valor de 1.120 itens;
• Sendo o 3° termo abril, com o valor de 700 itens.

Ainda não temos a razão. Com a fórmula de termos diferentes sem ser o primeiro termo, acharemos a nossa razão:

$a_{n} = a_{m} + (n - m)r$

Significado de cada item:

$a_{n}$

É um termo qualquer, mas na maioria dos casos é o último termo da P.A.

$n$

É a posição do termo qualquer.

$a_{m}$

É um termo médio, aquele que não é o último nem o primeiro.

$m$

É a posição do termo médio.

$r$

A razão da P.A., a razão é o número que difere os termos, ele é o mesmo para todos na P.A., ele não muda.

Sendo assim temos:

$a_{n} = a_{9} = 1120 \\ n = 9 \\ \\ a_{m} = a_{3} = 700 \\ m = 3$

Calculamos:

$a_{n} = a_{m} + (n - m)r \\ \\ 1120 = 700 + (9 - 3) r \\ 1120 = 700 + 6r \\ 1120 - 700 = 6r \\ 420 = 6r \\ \frac{420}{6} = r \\ 70 = r$

Agora temos:

• 9° termo = 1.120
• 3° termo = 400
• Razão = 70

Usaremos a fórmula geral para descobrirmos o 1° termo, sendo ela:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1)r$

Separamos:

$a_{n} = a_{9} = 1120 \\ n = 9 \\ \\ r = 70 \\ a_{1 } = {?}$

Calcularemos para descobrir o 1° termo:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1)r \\ \\ 1120 = a_{1} + (9 - 1) \times 70 \\ 1120 = a_{1} + 8 \times 70 \\ 1120 = a_{1} + 560 \\ 1120 - 560 = a_{1} \\ 560 = a_{1}$

Agora que possuímos o 1° termo, usaremos a mesma fórmula para encontrar o termo qualquer, no caso o termo de agosto o 7° termo:

$a_{1} = 560 \\ r = 70 \\ \\ a_{n} = a_{7} = ? \\ n = 7 \\ \\ a_{n} = a_{1} + (n - 1)r \\ \\ a_{7} = 560 + (7 - 1) \times 70 \\ a_{7} = 560 + 6 \times 70 \\ a_{7} = 560 + 420 \\ a_{7} = 980$

O 7° termo, ou, em agosto foram produzidos 980 itens.