Question

Em funções logarítmicas o que são e como funcionam mudança de base?

Answer 1

Olá,

é quando um logaritmo encontra-se em uma base, diferente da que foi proposta, vejamos alguns exemplos;

Dados..

$\log2=0,3~~;\log3=0,48~~e~~\log7=0,84$

Calcule:

$\log_6(7)\\ \log_7(18)$


Usamos então a mudança de base, pois os logaritmos dados estão na base 10, e os do exercício, um na base 6, e outro na base 7. 

$\log_b(a)= \dfrac{\log(a)}{\log(b)}$


Fazemos então..

Exemplo 1:

$\log_6(7)= \dfrac{\log(7)}{\log(6)}\\\\ \log_6(7)= \dfrac{\log(7)}{\log(2\cdot3)}\\\\ \log_6(7)= \dfrac{\log(7)}{\log(2)+\log(3)}\\\\ \log_6(7)= \dfrac{0,84}{0,3+0,48}\\\\ \log_6(7)= \dfrac{0,84}{0,78}\\\\\\ \boxed{\log_6(7)= \dfrac{14}{13}\approx1,0769}$

Exemplo 2:

$\log_7(18)= \dfrac{\log(18)}{\log(7)}\\\\ \log_7(18)= \dfrac{\log(2\cdot3^2)}{\log(7)}\\\\ \log_7(18)= \dfrac{\log(2)+\log(3)^2}{\log(7)}\\\\ \log_7(18)= \dfrac{\log(2)+2\cdot\log(3)}{\log(7)}\\\\ \log_7(18)= \dfrac{0,3+2\cdot0,48}{0,84}\\\\ \log_7(18)= \dfrac{0,3+0,96}{0,84}\\\\ \log_7(18)= \dfrac{1,26}{0,84}\\\\\\ \boxed{\log_7(18)= \dfrac{3}{2}=1,5}$


Agora, considere a equação logarítmica..

$\log_x(2)+\log_4(x)=-1$

Podemos resolvê-la aplicando a mesma propriedade, veja..

$\log_x(2)+\log_4(x)=-1\\\\ \dfrac{\log_2(2)}{\log_2(x)}+ \dfrac{\log_2(x)}{\log_2(4)}=-1\\\\ \dfrac{1}{\log_2(x)}+ \dfrac{\log_2(x)}{2}=-1\\\\ \dfrac{1\cdot2+[\log_2(x)]^2}{2\cdot\log_2(x)}=-1\\\\ \dfrac{2+[\log_2(x)]^2}{2\log_2(x)}=-1\\\\ 2+[\log_2(x)]^2=(-1)\cdot2\log_2(x)\\ 2+[\log_2(x)]^2=-2\log_2(x)\\ ~[\log_2(x)]^2+2\log_2(x)+2=0$

$[\log_2(x)]^2+2\log_2(x)+2=0\\\\ \log_2(x)=y\\\\ (y)^2+2(y)+2=0\\\\\Delta=2^2-4\cdot1\cdot2\\ \Delta=4-8\\ \Delta=-4\\\\ y= \dfrac{-2\pm \sqrt{-4} }{2\cdot1}= \dfrac{-2\pm2i}{2}\begin{cases}y_1=-1+i\\ y_2=-1-i\end{cases}$

Retomando a variável original..

$\log_2(x_1)=-1+i~~~~~~~~~~~~~\log_2(x_2)=-1-i\\\\ x_1=2^{-1+i}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x_2=2^{-1-i}\\ x_1=2^{-1}\cdot2^i~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x_2=2^{-1}\cdot2^{-i}\\\\ x_1= \dfrac{1}{2}\cdot2^i~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x_2= \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2^i}\\\\\\ x_1= \dfrac{2^i}{2}~~e~~x_2= \dfrac{1}{2^{1+i}}\\\\\\ \Large\boxed{\text{S}=\left\{ \dfrac{2^i}{2}, \dfrac{1}{2^{1+i}}\right\}}$