Question

Em Economia, a noção de concavidade está relacionada ao conceito de retorno diminuído.
Se y = f(x) é uma função em que x representa a entrada na forma de capital (em dólares) e y representa a saída (em dólares), então um ponto de inflexão (c, f(c)), onde o gráfico da função f é cóncavo para cima no intervalo (a,c), e côncavo para baixo no intervalo (c,b), é chamado de ponto de retorno diminuído, indicando que um aumento de investimento além desse ponto é geralmente considerado um mal uso do capital.
LARSON, Ron. Cálculo Aplicado. São Paulo: Cengage Learning, 2016. p.189.

Considerando a definição acima, considere o seguinte problema:
Ao aumentar seu custo com publicidade x (em milhares de dólares) de um produto, uma empresa descobre que pode aumentar as vendas y (em milhares de dólares) de acordo com o modelo(figura)


Pode-se afirmar que o ponto de retorno diminuído (ou ponto de inflexão) para esse produto será:

(A) X = $20.000
(B) X = $31.000
(C) X = $18.600
(D) X = $25.800
(E) X = $29.000

Answer 1

O ponto de retorno diminuído para esse produto será de R$20000.

Para encontrar um ponto de inflexão, devemos encontrar a segunda derivada da função e igualar a zero, logo, temos que:

f(x) = -x³/10 + 6x² + 400

f'(x) = -3x²/10 + 12x

f''(x) = -6x/10 + 12

Igualando f''(x) a zero, temos que um possível ponto de inflexão é:

-6x/10 + 12 = 0

12 = 6x/10

120 = 6x

x = 20

Para verificar se esse ponto é realmente um ponto de inflexão, a terceira derivada deve ser diferente de zero:

f'''(x) = -6/10 ≠ 0

Logo, x = 20 é a coordenada de um ponto de inflexão.

Resposta: A