Question

Em determinada empresa, as funções que relacionam o investimento (I) e o lucro (L) em função do tempo, em milhões de reais, são dadas, respectivamente, pelas expressões l(t) =−t+6 e L(t)= −t²+5t+1, em que t representa o tempo, em anos. Sabendo disto, responda:

a) Em qual(is) momento(s) essa empresa investirá a mesma quantia que lucrar?

b) De quanto será esse valor?

c) Qual o lucro máximo desta empresa? Em quanto tempo será alcançado este valor?

Answer 1

Resposta:

A) t=1 e/ou t=5

B) 1 ano e 5 anos

C) o valor é 2,5

Explicação passo-a-passo:

A) para isso iguale as duas funções

l(t)=L(t)

−t+6= −t²+5t+1

passe tudo para um lado só e iguale a zero para depois podermos aplicar bhaskara

−t²+5t+1-6+t=0

agrupando

−t²+6t−5=0

aplicando bhaskara obtemos dois resultados:

t=1

t=5

então nessas duas ocasiões elas se igualam, inclusive se você substituir esses valores de t em ambas as formulas iniciais separadas poderá observar que os valores serão os mesmos para o investimento e o lucro.

B) 1 ano e 5 anos

C) o valor é 2,5 e se você quiser pode utilizar dois sites um para aprender a calcular e outro que gera o gráfico pra ti.

aprendendo:

se digita como calcular gráfico função segundo grau

gerando o gráfico online, se digita no Google:

gráfico função segundo grau online

Answer 2

a) Vamos igualar I(t) com L(t)

I(t) = L(t)

-t +6 = -t² +5t +1

0 = -t² +5t +1 +t -6

0 = -t² +6t -5

-1t² +6t -5 = 0

Δ = b² - 4·a·c

Δ = 6² - 4·(-1)·(-5)

Δ = 36 - 20

Δ = +16

t₁ = (-b+√Δ) / 2a

t₁ = (-6 +4) / -2

t₁ = (-2) / -2

t₁ =  +1

t₂ =  (-b - √Δ) / 2a

t₂ = (-6 -4) / -2

t₂ = -10/ -2

t₂ = +5

Resposta: a empresa investirá a mesma quantia que lucrará nos momentos 1 e 5 anos.

b) Vamos substituir o t por 1 e por 5 nas duas funções:

I(1) = -1 +6

I(1) = 5 milhões

Resposta: será de 5 milhões no ano 1.

L(5) = -5² +5(5) +1

L(5) = -25 + 25 +1

L(5) =  1 milhão

Resposta: será de 1 milhão no ano 5.

c) O lucro máximo é igual ao ponto máximo da parábola, ou seja, do Y do vértice, cuja fórmula é dada por:

Ymáx = -Δ / 4a

A função de lucro é:

L = -t² +5t +1

Δ = 5² -4(-1)(1)

Δ = 25 + 4

Δ = 29

Ymáx = -Δ / 4a

Ymáx = -29 / 4(-1)

Ymáx = -29 / -4

Ymáx = 7,25

Xvértice = -b/2a

-5/(-2*1) =

-5/-2 = 2,5

Resposta: o lucro máximo desta empresa será de $7,25 milhões, e este valor será alcançado após dois anos e meio (2,5).