Question

em certo triângulo, a medida do maior lado é 9 cm, e do menor, 3 cm. quais são as possiveis medidas do terceiro lado desse triângulo?

Answer 1

Depende dos ângulos desse triângulo, se for um triângulo retângulo, podemos achar o valor pelo teorema de Pitágoras:
9² = x² + 3²
x² = 81 - 9
x² = 72
x = √72
x = 6√2 (aproximadamente 8,48)

Se for um triângulo obtusângulo ou acutângulo, era necessário pelo menos o valor de um ângulo desse triângulo, para daí calcular o outro lado pela Lei dos Cossenos:
a² = b² + c² - 2*b*c*cosÂ
Neste caso, o lado "a" é o lado que você estaria procurando.
a² = 9² + 3³ - 2*9*3*CosÂ
a² = 81 + 9 - 54*CosÂ
a² = 90 - 54*cosÂ
a = √(90 - 54*cosÂ)
Caso houvesse o valor do ângulo oposto ao lado "a", era possível achar o valor do terceiro lado desse triângulo.

Há também a Lei dos Senos, em que a proporção entre um lado e o seno de seu ângulo oposto é sempre igual para todos os lados:
a/sen A = b/sen B = c/sen C

Espero ter ajudado : )