Question

Em certo município do interior de Santa Catarina, verificou-se que probabilidade de que em cada gravidez a mulher tenha um bebê menino é duas vezes maior do que a probabilidade do bebê ser menina. Para este munícipio, sabendo que existem 600 famílias com 5 crianças cada uma, quantas se esperaria que tivessem:
a. 3 meninos. (198 famílias)
b. No mínimo duas meninas. (324 famílias)

Answer 1

Resposta:

letra b)no mínimo duas meninas.(324 familias)

Answer 2

A questão cobre conhecimentos sobre probabilidade e análise combinatória.

Nessa cidade, espera-se que haja (a) 198 famílias com 3 meninos e (b) 324 famílias com no mínimo duas meninas.

Probabilidade e Análise Combinatória

A resolução dessa questão envolve basicamente dois passos:

• Cálculo da probabilidade de uma dada condição;
• Cálculo da quantidade de combinações possíveis para uma determinada condição;

Item A)

A condição aqui é 3 meninos. Como as gestações são independentes, a probabilidade é dada pela multiplicação das probabilidades individuais. Ou seja, existir 3 meninos em um grupo de 5 crianças é:

$P=(\frac{2}{3})^3\cdot(\frac{1}{3})^2= \frac{8}{243}$

Porém, deve-se levar em conta que há várias formas de se ter 3 meninos  nesse caso: pode-se ter os 3 primeiros filhos meninos e os 2 seguintes meninas; ou os 2 primeiros bebês podem ser meninas e os 3 seguintes meninos; enfim, são várias as formas de se satisfazer essa condição. Portanto, é necessário calcular de quantas formas é possível satisfazer tal condição. Nesse caso, deve-se combinar as 5 crianças (n=5) 3 a 3 (p=3). Assim, têm-se:

$C_{n,p}=\frac{n!}{(n-p)!p!}\\\\C_{5,3}=\frac{5!}{(5-3)!3!}\\\\C_{5,3}=\frac{5\cdot4\cdot3!}{(2!)!3!}=10$

Isso é, há 10 ordenações diferentes de se ter meninos. Então, espera-se que dentre as 600 família existam:

$\frac{8}{243}\cdot 10 \cdot 600= 197,53$

Como o número de famílias pode ser somente inteiro, espera-se que haja 198 famílias com 3 meninos.

Item B)

Da mesma forma que o item anterior, a condição aqui é no mínimo duas meninas. Isso quer dizer que 2, 3, 4 ou 5 meninas satisfazem. Isso é equivalente a calcular o número de famílias que possuem no mínimo 4 meninos. Essa segunda forma é mais simples, pois requer um menor número de casos. É necessário saber somente a probabilidade para 4 meninos e 5 meninos. Isso só é possível, pois essas probabilidades são complementares, isso é:

$P(\text{2 ou mais meninas})=1-P(\text{4 ou mais meninos})$

Calcula-se a probabilidade de que haja 4 e 5 meninos entre as 5 crianças de forma igual ao item A:

$P(\text{4 meninos})=(\frac{2}{3})^4\cdot(\frac{1}{3})=\frac{16}{243}\\\\P(\text{5 meninos})=(\frac{2}{3})^5=\frac{32}{243}$

Da mesma forma, é necessário saber de quantas formas é possível combinar 5 crianças de forma que 4 sejam meninos (e também para o caso de 5 meninos):

$C_{5,4}=\frac{5}{(5-4)!4!}=5\\\\C_{5,5}=\frac{5}{(5-5)!5!}=1$

Assim, a probabilidade de que uma família tenha 2 ou mais meninas é dada por:

$P(\text{2 ou mais meninas})=(1-16/243\cdot 5-32/243\cdot 1) = 131/243$

Por fim, espera-se que dentre as 600 famílias existam 131/243 x 600 = 323,45. Como não pode existir um número fracionário de famílias, espera-se que existam 324 famílias com 2 ou mais meninas.

Você pode aprender mais sobre probabilidades e análise combinatória em:

- https://brainly.com.br/tarefa/38860015

- https://brainly.com.br/tarefa/20622320

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