Question

Em certa P.A. crescente, a3+a6 = 50 e a8-a4=16. Então, o primeiro termo e a razão
dessa P.A. são respectivamente:
a)11 e 4
b)5 e 6
c)5/3 e 7/3
d)9 e 15/4
e)10 e 3

Answer 1

Sabemos que em uma progressão aritmética de razão r, um termo qualquer $a_n$ na posição n pode ser calculado pela seguinte fórmula:

$a_n = a_1 + (n-1)r$

Vamos então calcular os termos que estão no enunciado.

$a_6 = a_1 + 5r\\a_3 = a_1 + 2r\\a_8 = a_1 + 7r\\a_4 = a_1 + 3r$

Ao substituir os termos pelo que encontramos, temos o seguinte sistema.

$\begin{cases}(a_1 + 2r) + (a_1 + 5r) = 50\\(a_1 + 7r) - (a_1 + 3r) = 16 \end{cases}$

Vamos simplificar o sistema somando os termos semelhantes:

$\begin{cases}2a_1 + 7r= 50\\4r = 16 \end{cases}$

E agora podemos resolvê-lo facilmente, já que a segunda equação já nos fornece a razão:

$4r = 16\\r = 4$

E substituindo isso na primeira equação:

$2a_1 +7\cdot4 = 50\\2a_1 + 28 = 50\\2a_1 = 22\\a_1 = 11$

Resposta: O primeiro termo é 11 e a razão é igual a 4.

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