Question

Em certa espécie animais em perfeito equilíbrio ecológico, a variação no tamanho de sua população é periódica esse período depende de condições ambientais, tais como a quantidade de predadores, quantidade de alimento disponível, entre outros fatores. Em uma ilha, a população P de certa espécie animal é dada pela função P(t)+500+100 cos ( π/3 t)Em que meses do ano essa população será mínima?

Answer 1

Sendo t correspondente aos meses do ano, temos

1 ≤ t ≤ 12


Sabemos que o cosseno varia entre –1 e 1. Portanto,

$-1\le \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\,t \right )\le 1$


Multiplicando por 100 todos os membros da desigualdade acima, ficamos com

$-100\le 100\cos \left(\dfrac{\pi}{3}\,t \right )\le 100$


Adicionando 500 a todos os membros da desigualdade acima, ficamos com

$500-100\le 500+100\cos \left(\dfrac{\pi}{3}\,t \right )\le 500+100\\\\\\ 400\le 500+100\cos \left(\dfrac{\pi}{3}\,t \right )\le 600\\\\\\ 400\le P(t)\le 600$


Portanto, os meses do ano que minimizam o valor de $P(t)$ são tais que

$P(t)=400\\\\ 500+100\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\,t \right )=400\\\\\\ 100\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\,t \right )=400-500\\\\\\ 100\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\,t \right )=-100\\\\\\ \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\,t \right )=-1\\\\\\ \dfrac{\pi}{3}\,t=\pi+k\cdot 2\pi\\\\\\ \pi\,t=3\pi+3k\cdot 2\pi\\\\ \pi\,t=3\pi+6k\cdot \pi\\\\ \diagup\!\!\!\! \pi\,t=\diagup\!\!\!\! \pi\cdot (3+6k)\\\\ t=3+6k~~~~~\text{onde }k\text{ \'e inteiro}$


$\bullet\;\;$ Para $k\le -1:$

$3+6k\le 3-6\\\\ 3+6k\le -3\\\\ t\le -3~~\text{(n\~ao serve)}$


$\bullet\;\;$ Para $k=0:$

$t=3+6\cdot 0\\\\ t=3$


$\bullet\;\;$ Para $k=1:$

$t=3+6\cdot 1\\\\ t=3+6\\\\ t=9$


$\bullet\;\;$ Para $k\ge 2:$

$6k\ge 12\\\\ 3+6k\ge 3+12\\\\ t\ge 15~~\text{(n\~ao serve)}$

____________

Portanto, os meses do ano são os meses correspondentes a $t=3$ e $t=9.$


Se enumerarmos os meses do ano em ordem, atribuindo

t = 1 para o mês de janeiro

$\vdots$

t = 12 para o mês de dezembro;

os meses em que a população é mínima são os meses de março e setembro.


Bons estudos! :-)

Answer 2

Perceba que a função vai ter o menor valor quando cos ( π/3 t) tiver o menor valor. Você só precisa saber que a função cosseno varia de -1 a 1, logo seu menor valor é -1. Então queremos que 
cos ( π/3 t)=-1
sabemos que cos ( π)=-1 então temos um primeiro valor para t que é 3
pois (π/3). t=π ⇒t=3
Sabendo que a função cosseno se repete a cada 2π.
temos o próximo valor de t=3+6=9
A população é mínima nos meses 3 e 9