Question

Em certa cidade um matemático modelou a temperatura T, em graus Celsius, nas doze primeiras horas de um dia de inverno segundo a expressão começar estilo tamanho matemático 14px reto T igual a menos 1 mais 2 cos abre colchetes reto pi numerador abre parênteses reto t mais 1 fecha parênteses sobre denominador 6 fim da fração fecha colchetes fim do estilo, em que começar estilo tamanho matemático 14px 0 menor ou igual a reto t menor ou igual a 12 fim do estilo e t = 0 e t = 12 correspondem à zero hora e às doze horas desse dia, respectivamente.

Dentre os intervalos a seguir aquele que apresenta o tempo, em horas, em que a temperatura esteve abaixo de 0°C nas doze primeiras horas do dia nessa cidade é

A
]1,9[.

B
]2,10[.

C
]3,11[.

D
]0,10[.

E
]1,11[.

Answer 1

Alternativa A: ] 1,9 [

Inicialmente, temos a seguinte equação para representar a temperatura naquela cidade:

$T=-1+2cos[\pi (\frac{t+1}{6})]$

Veja que o cosseno pode variar de -1 até 1. Para que a temperatura seja negativa, essa parcela deve ser, no máximo, igual a 0,5, uma vez que está multiplicada por 2.

Para obter esses valores de seno, devemos ter, respectivamente, os ângulos de 1/3π e 5/3π. Dentre desse intervalo, os valores serão menos ue 0,5 e, consequentemente, a temperatura será negativa. Substituindo esses valores, obtemos o seguinte:

$\pi (\frac{t+1}{6})=\frac{1}{3}\pi \\ \\ 3t+3=6 \\ \\ 3t=3 \\ \\ t=1 \\ \\ \\ \pi (\frac{t+1}{6})=\frac{5}{3}\pi \\ \\ 3t+3=30 \\ \\ 3t=27 \\ \\ t=9$