Question

Em cada uma das figuras a seguir tem-se um quadrado de lado . As regiões hachuradas em cada uma dessas figuras são limitadas por lados desse quadrado ou por arcos de círculo de raio de centros nos vértices do quadrado. Calcule cada uma dessas áreas em função de . Urgente!!!

Answer 1

Veja que esta é uma questão de setores circulares. Vamos chamar o lado do quadrado de x, já que na sua questão a letra não apareceu. Para a letra A, veja que a área hachurada é um setor circular que corresponde a 1/4 de um circulo de raio r. Note que o raio é do mesmo tamanho da medida do lado do quadrado, logo r = x. Caso não consiga enxergar isso, você pode pensar da seguinte forma:

Ângulo         Área

360              π . r²  → área de um circulo completo

90                 K

A área de um setor com ângulo central de 90 graus é:

$K = \dfrac{90 \pi \cdot r^2}{360}$

Como r = x:

$K = \dfrac{90 \pi \cdot x^2}{360} \rightarrow K = \dfrac{ \pi \cdot x^2}{4}$

E esta é a área hachurada (a)

Para (b) temos a mesma situação. Trace a diagonal do quadrado e observe que a metade da área hachurada é dada pela área do setor circular acima menos a área do triângulo retângulo formado pelos lados do quadrado e a sua diagonal.

Logo a metade da área hachurada será:

$\dfrac{\pi \cdot r^2}{4} - \dfrac{x^2}{2}$

E ela completa será o dobro disso:

$A_h =2 \cdot \left(\dfrac{\pi \cdot r^2}{4} - \dfrac{x^2}{2}\right)\\\\\\A_h = \dfrac{\pi \cdot r^2}{2} - x^2$

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