Question

Em cada um dos itens abaixo, use o discriminante para decidir o número de vezes em que o gráfico da função corta o eixo x.

a)f(x)=x²+4

b)f(x)=-x²+4x+4​

Answer 1

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⠀⠀⠀☞ a) Nenhuma vez; b) Duas vezes. ✅

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⠀⠀⠀⭐⠀Para realizar este exercício vamos utilizar a fórmula de Bháskara.⠀⭐⠀

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⠀⠀⠀➡️⠀O que chamamos de fórmula de Bháskara nada mais é do que um rearranjo algébrico de uma função quadrática (função polinomial de grau dois) para isolarmos a variável x quando y = 0 (ou seja, uma forma de encontrarmos a(s) raiz(es) desta função, caso ela(s) exista(m), sendo a(s) raiz(es) geometricamente o(s) valor(es) de x por onde nossa parábola, descrita pela função quadrática, intercepta(m) o eixo x):

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                  $\gray{\boxed{~~\begin{array}{lcr}&&\\&\pink{\underline{\bf~~~~O~tal~do~Bh\acute{a}skara...~~~~}}&\\&&\\&&\\&\sf\orange{a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0}&\\&&\\&\green{\sf\clubsuit\underline{~Multiplicando~ambos~os~lados~por~4a~}\clubsuit}&\\&&\\&\orange{\sf 4a \cdot (a \cdot x^2 + b \cdot x + c) = 0 \cdot 4a}&\\&&\\&\orange{\sf 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0}&\\&&\\&\green{\sf\clubsuit\underline{~Somando~b^2~em~ambos~os~lados~}\clubsuit}&\\&&\\&\orange{\sf b^2 + (4a^2x^2 + 4abx + 4ac) = 0 + b^2}&\\&&\\&\orange{\sf 4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac}&\\&&\\&\green{\sf\clubsuit\underline{~Fatorando~o~lado~esquerdo~}\clubsuit}&\\&&\\&\orange{\sf (2ax)^2 + 2 \cdot (2ax \cdot b) + b^2 = b^2 - 4ac}&\\&&\\&\orange{\sf (2ax + b)^2 = b^2 - 4ac}&\\&&\\&\green{\sf\clubsuit\underline{~Aplicando~a~radiciac_{\!\!,}\tilde{a}o~em~ambos~os~lados~}\clubsuit}&\\&&\\&\orange{\sf \sqrt{(2ax + b)^2} = \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}&\\&&\\&\orange{\sf 2ax + b = \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}&\\&&\\&\green{\sf\clubsuit\underline{~Por~fim,~isolando~o~x~}\clubsuit}&\\&&\\&\orange{\sf 2ax = -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}&\\&&\\&\orange{\sf x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}}&\\&&\\&\green{\sf\spadesuit\underline{~Seja~o~discriminante~\Delta = b^2 - 4 \cdot a \cdot c~}\spadesuit}&\\&&\\&\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{lcr}\green{\star}&&\green{\star}\\&\!\!\orange{\bf x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a}}\!\!&\\\green{\star}&&\green{\star}\\\end{array}}}}}&\\&&\end{array}~~}}$  

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⠀⠀⠀➡️⠀Observando o discriminante (Δ) concluímos que:

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• Se Δ > 0 então teremos 2 valores Reais para esta função (a parábola intercepta em dois pontos o eixo x);

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• Se Δ = 0 então teremos 1 valor Real para esta função (a parábola toca o eixo x em somente um ponto);

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• Se Δ < 0 então não teremos nenhum valor Real para esta função pois a raiz de números negativos está definida no conjunto dos Imaginários (a parábola nem sequer toca o eixo x).

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⠀⠀⠀➡️⠀Desta forma temos:

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a)f(x)=x²+4⠀⠀⠀⠀⠀⠀ ⠀⠀⠀✍

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$\LARGE\blue{\sf \Delta = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}$

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$\LARGE\blue{\sf \Delta = -16 < 0}$  

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                                         $\qquad\qquad\huge\green{\boxed{\rm~~~\blue{ 0~vezes }~~~}}$ ✅

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b)f(x)=-x²+4x+4​⠀⠀⠀ ⠀⠀⠀✍

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$\LARGE\blue{\sf \Delta = 4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 4}$

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$\LARGE\blue{\sf \Delta = 16 + 16 = 32 > 0}$  

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                                         $\qquad\qquad\huge\green{\boxed{\rm~~~\blue{ 2~vezes }~~~}}$ ✅

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• ☃️ Curiosidade: só no Brasil chamamos este método para descobrir a(s) raiz(es) de uma função quadrática de Fórmula de Bháskara, no resto do mundo é só Método para encontrar a(s) raiz(es) de uma equação de segundo grau mesmo. Nem sequer foi o matemático Bháskara, que viveu no século 12, quem inventou tal método. Este já existia antes dele e tem sido aprimorado ao longo dos milênios por diversas culturas.

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                             $\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

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⠀⠀☀️ L͎̙͖͉̥̳͖̭̟͊̀̏͒͑̓͊͗̋̈́ͅeia mais sobre o discriminante:

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                                     https://brainly.com.br/tarefa/48188257 ✈  

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                                     $\huge\blue{\text{\bf\quad Bons~estudos.}}$ ☕

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                                          $\quad\qquad(\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios})$ ☄

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                             $\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }\LaTeX}$✍

                                $\sf(\purple{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly}$ ☘☀❄☃☂☻)

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                                                          $\Huge\green{\text{ \underline{\red{\mathbb{S}}\blue{\mathfrak{oli}}~}~\underline{\red{\mathbb{D}}\blue{\mathfrak{eo}}~}~\underline{\red{\mathbb{G}}\blue{\mathfrak{loria}}~} }}$ ✞

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