Question

Em cada um dos itens abaixo, ache o vértice, e os pontos de intersecção com o eixo de x. Classifique o vértice como um ponto de máximo ou de mínimo da função dada.
a) f(x)= x²+ 8x +9
b) f(x)= -x²+ 9
c) f(x)= -x²+ 9x 

Answer 1

Vou fazer com a primeira equação então basta usar o mesmo raciocínio para resolver as demais.

a) $f(x)=x^2+8x+9$

Estas são equações do segundo grau, que tem a forma:

$f(x)=a.x^2+b.x+c$

Onde $a$, $b$ e $c$ são os coeficientes dos termos $x^2$, $x^1=x$ e $x^0=1$ respectivamente.

Então podemos ver que para $f(x)=x^2+8x+9$, temos:

$a=1$
$b=8$
$c=9$

Sabemos que para encontrar as coordenadas do vértice $V=(X_v, Y_v)=(-\frac{b}{2.a}, -\frac{\Delta}{4.a})$ devemos usar as fórmulas dadas. Onde:

$\Delta=b^2-4.a.c$

Substituindo os valores, teremos:

$\Delta=8^2-4.1.9$
$\Delta=64-36$
$\Delta=28$

$V=(X_v, Y_v)=(-\frac{b}{2.a}, -\frac{\Delta}{4.a})$
$V=(X_v, Y_v)=(-\frac{8}{2.1}, -\frac{28}{4.1})$
$V=(X_v, Y_v)=(-\frac{8}{2}, -\frac{28}{4})$

$V=(X_v, Y_v)=(-4, -7)$

Para encontrar os pontos de intersecção com o eixo x devemos fazer:

$f(x)=y=0$

Pois são os pontos em que o eixo x passa pelo $y=0$. Restando resolver pela fórmula de Báskara a equação do segundo grau abaixo:

$0=a.x^2+b.x+c$

$a.x^2+b.x+c=0$

$1.x^2+8.x+9=0$

$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$
$x=\frac{-8\pm\sqrt{28}}{2.1}$
$x=\frac{-8\pm\sqrt{2.2.7}}{2}$
$x=\frac{-8\pm\sqrt{2^2.7}}{2}$
$x=\frac{-8\pm 2\sqrt{7}}{2}$
$x=\frac{2(-4\pm\sqrt{7})}{2}$

$x_1=-4+\sqrt{7}$

$x_2=-4-\sqrt{7}$

Assim, os pontos serão $P_1=(x_1, 0)=(-4+\sqrt{7}, 0)$ e $P_2=(x_2, 0)=(-4-\sqrt{7}, 0)$

Para saber se o vértice ($V$) é um ponto de máximo ou mínimo basta verificar o valor de $a=1$ (coeficiente do $x^2$), assim:

Se $a>0$, então o vértice ($V$) é ponto de mínimo pois a parábola (gráfico da função do segundo grau) está com a abertura para cima. Este é o caso desta equação, pois $a=1>0$.

Se $a<0$, então o vértice ($V$) é ponto de máximo pois a parábola está com a abertura para baixo.