Question

Em cada ponto (x, y) de uma curva a inclinação é dada por x⁴ e ˣ⁵ . Encontre a equação da curva sabendo que a mesma passa pelo ponto (0, 1) Não estou conseguindo concluir essa questão...alguém pode me ajudar?

Answer 1

Temos duas inclinações que são x⁴ e x⁵, então teremos duas curvas, uma para cada inclinação.

Primeiro vamos achar a equação da curva para a inclinação x⁴.

• Como sabemos a definição algébrica de derivada é o coeficiente angular, vulgo inclinação de uma reta, então podemos dizer que: $\sf \frac{dy}{dx} = x {}^{4}$

Vamos multiplicar cruzado, ou seja, o famoso meio pelos extremos:

$\sf dy = x {}^{4} dx$

Outra coisa que devemos saber é que a integral é o oposto da derivada, então se temos a inclinação que partiu da curva, podemos integrar esse coeficiente e assim obter a equação da curva, ou seja, vamos integrar os dois lados dessa relação que acabamos de montar:

$\sf \int dy = \int x {}^{4} dx$

A integral da derivada de "y" é simplesmente o conteúdo, ou seja, "y":

$\sf y +C_1 = \int x {}^{4} + dx$

Para integrar o x⁴dx, devemos lembrar da regra da potência para integrais, que é dada por:

$\boxed{ \sf \int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} }$

Aplicando:

$\sf y+C_1 = \frac{x {}^{4 + 1} }{4 + 1} +C_2 \\ \sf y = \frac{x {}^{5} }{5} +C_2 - C_1 \: \: \: \: \: \: \:$

Para ser mais elegante, vamos dizer que C2 - C1 é igual a C:

$\boxed {\sf y = \frac{x {}^{5} }{5} +C}$

O enunciado nos diz que essa curva passa pelo ponto (0,1) então devemos substituir esses valores e encontrar o valor da constante C:

$\sf y = \frac{x {}^{5} }{5} +C \: \: \: \: para \: \: \: P (0,1) \\ \sf 1 = \frac{0 {}^{5} }{5} +C \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf 1 = 0 +C \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{\sf C = 1} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo o valor da constante:

$\boxed{\sf y = \frac{x {}^{5} }{5} + 1}$

Para a inclinação x⁵ deixarei pra você fazer seguindo a minha ideia, quero que você me fale o seu resultado.

Espero ter ajudado