Em cada PA, achar o décimo, o décimo primeiro e o quinquagésimo quinto termo: a) (2,4,6,...) b) (1,3,5,...)
Soluções para a tarefa
a) (2,4,6,...)
Encontrara a razão da PA:
r = a2 - a1
r= 4 - 2
r= 2
O décimo primeiro termo:
an = a1 + ( n -1 ) . r
a11 = 2 + ( 11 -1 ) . 2
a11 = 2 + 10 . 2
a11 = 2 + 20
a11 = 22
Quinquagésimo quinto
an = a1 + ( n -1 ) . r
a55 = 2 + ( 55 -1 ) . 2
a55 = 2 + 54 . 2
a55 = 2 + 108
a55 = 110
===
b) (1,3,5,...)
Encontrara a razão da PA
r = a2 - a1
r = 3 - 1
r = 2
O décimo primeiro termo:
an = a1 + ( n -1 ) . r
a11 = 1 + ( 11 -1 ) . 2
a11 = 1 + 10 . 2
a11 = 1 + 20
a11 = 21
Quinquagésimo quinto
an = a1 + ( n -1 ) . r
a55 = 1 + ( 55 -1 ) . 2
a55 = 1 + 54 . 2
a55 = 1 + 108
a55 = 109
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação dos problemas:
- PROBLEMA A:
Da sequência (2, 4, 6,...), tem-se:
a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;
b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:2
c)décimo termo (a₁₀): ?
d)décimo primeiro termo (a₁₁): ?
e)quinquagésimo quinto termo (a₅₅): ?
f)número de termos (n): 10, 11 e 55
- Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 10ª, 11ª e 55ª), equivalente ao número de termos.
g)Embora não se saibam os valores do décimo, do décimo primeiro e do quinquagésimo quinto termos, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, afastam-se do zero, para a direita, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e os termos solicitados igualmente serão maiores que zero.
- PROBLEMA B:
Da sequência (1, 3, 5,...), tem-se:
a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;
b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:1
c)décimo termo (a₁₀): ?
d)décimo primeiro termo (a₁₁): ?
e)quinquagésimo quinto termo (a₅₅): ?
f)número de termos (n): 10, 11 e 55
- Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 10ª, 11ª e 55ª), equivalente ao número de termos.
g)Embora não se saibam os valores do décimo, do décimo primeiro e do quinquagésimo quinto termos, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, afastam-se do zero, para a direita, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e os termos solicitados igualmente serão maiores que zero.
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(II)Determinação das razões (r) das progressões aritméticas:
Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
- PROBLEMA A:
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 4 - 2 ⇒
r = 2 (Razão positiva, conforme prenunciado no item g acima.)
- PROBLEMA B:
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 3 - 1 ⇒
r = 2 (Razão positiva, conforme prenunciado no item g acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o décimo, o décimo primeiro e o quinquagésimo quinto termos:
- PROBLEMA A:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₁₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₁₀ = 2 + (10 - 1) . (2) ⇒
a₁₀ = 2 + (9) . (2) ⇒ (Veja a Observação 2.)
a₁₀ = 2 + 18 ⇒
a₁₀ = 20
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₁₁ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₁₁ = 2 + (11 - 1) . (2) ⇒
a₁₁ = 2 + (10) . (2) ⇒ (Veja a Observação 2.)
a₁₁ = 2 + 20 ⇒
a₁₁ = 22
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₅₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₅₅ = 2 + (55 - 1) . (2) ⇒
a₅₅ = 2 + (54) . (2) ⇒ (Veja a Observação 2.)
a₅₅ = 2 + 108 ⇒
a₅₅ = 110
- PROBLEMA B:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₁₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₁₀ = 1 + (10 - 1) . (2) ⇒
a₁₀ = 1 + (9) . (2) ⇒ (Veja a Observação 2.)
a₁₀ = 1 + 18 ⇒
a₁₀ = 19
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₁₁ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₁₁ = 1 + (11 - 1) . (2) ⇒
a₁₁ = 1 + (10) . (2) ⇒ (Veja a Observação 2.)
a₁₁ = 1 + 20 ⇒
a₁₁ = 21
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₅₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₅₅ = 1 + (55 - 1) . (2) ⇒
a₅₅ = 1 + (54) . (2) ⇒ (Veja a Observação 2.)
a₅₅ = 1 + 108 ⇒
a₅₅ = 109
Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).
Resposta: O décimo, o décimo primeiro e o quinquagésimo quinto termos da P.A.(2, 4, 6,...) são 20, 22 e 110, respectivamente. O décimo, o décimo primeiro e o quinquagésimo quinto termos da P.A.(1, 3, 5,...) são 19, 21 e 109, respectivamente.
→Veja, no ANEXO 1 e no ANEXO 2, as provas reais, as demonstrações de que as respostas dos problemas A e B estão corretas.
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