Em cada item, verifique quais triplas ordenadas são soluções do
sistema.
a) {
5 + + = 0
− 4 + 3 = 0
2 − 2 + 2 = 0
I) ( -1, 5, 0 ) ; II) ( 0, 0, 0 ) e III) ( 1, - 2, - 3 )
________________________
b) {
+ + 6 = 0
− − = 5
2 − 6 − = 5
I) (0, 0, 0 ); II) ( 5, 1, -1 ) e III) ( 2, 2, -1)
Soluções para a tarefa
Resposta:
Resposta:
Olá, As ternas II) (0,0,0) e III) (1,-2,-3) são soluções do sistema homogêneo. A terna II) (5,1,-1) é solução do sistema não homogêneo.
a) Da segunda equação, podemos dizer que x = 4y - 3z.
Dividindo a terceira equação por 2, obtemos x - y + z = 0.
Substituindo o valor de x nessa equação:
4y - 3z - y + z = 0
3y - 2z = 0
3y = 2z
y = 2z/3.
Logo,
x = 4.(2z/3) - 3z
x = 8z/3 - 3z
x = -z/3.
Substituindo os valores de x e y na primeira equação do sistema:
5(-z/3) + 2z/3 + z = 0
-5z/3 + 2z/3 + z = 0
-5z + 2z + 3z = 0
0 = 0.
O sistema possui infinitas soluções da forma (-z/3,2z/3,z).
Se z = 0, obtemos a solução II) (0,0,0).
Se z = -3, obtemos a solução III) (1,-2,-3).
Observe que todos os termos independentes são iguais a 0. Logo, o sistema é homogêneo.
b) Da primeira equação, podemos dizer que x = -y - 6z.
Substituindo o valor de x na segunda equação:
-y - 6z - y - z = 5
-2y - 7z = 5
2y = -7z - 5
y = (-7z - 5)/2.
Logo,
x = -(-7z - 5)/2 - 6z
x = (7z + 5)/2 - 6z
x = (-5z + 5)/2.
Substituindo os valores de x e y na terceira equação:
2(-5z + 5)/2 - 6(-7z - 5)/2 - z = 5
-5z + 5 - 3(-7z - 5) - z = 5
-5z + 21z + 15 - z = 0
15z = -15
z = -1.
Portanto, x = 5 e y = 1.
A solução do sistema é II) (5,1,-1).
O sistema é não homogêneo porque alguns termos independentes são diferentes de zero
Explicação passo-a-passo:
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Explicação passo-a-passo: