Em cada item, verifique quais das ternas são soluções do sistema e classifique-o em homogêneo ou não homogêneo?
A)
{5x+y+z=0
{x-4y+3z=0
{2x-2y+2z=0
I) (-1, 5, 0)
II) (0, 0, 0)
III) (1, -2, -3)
B)
{x+y+6z=0
{x-y-z=5
{2x-6y-z=5
I) (0, 0, 0)
II) (5, 1, -1)
III) (2, 2, -1)
Soluções para a tarefa
a)
{5x + y + z = 0
{x - 4y + 3z = 0
{2x - 2y + 2z = 0
I) (-1, 5, 0) ~~> Não soluciona, pois não serve para a equação 2.
II) (0, 0, 0) ~~> Soluciona, pois não existem termos independentes do outro lado das equações. Se (0, 0, 0) é solução, então o sistema é, SIM, homogêneo.
III) (1, -2, -3) ~~> Soluciona as três equações.
B)
{ x + y + 6z = 0
{ x - y - z = 5
{ 2x - 6y - z = 5
I) (0, 0, 0) ~~> Não soluciona, pois existem termos independentes nas duas últimas equações do sistema. Logo, o sistema NÃO é homogêneo.
II) (5, 1, -1) ~~> Soluciona as três equações.
III) (2, 2, -1) ~~> Não soluciona nenhuma das equações.
As ternas II) (0,0,0) e III) (1,-2,-3) são soluções do sistema homogêneo. A terna II) (5,1,-1) é solução do sistema não homogêneo.
a) Da segunda equação, podemos dizer que x = 4y - 3z.
Dividindo a terceira equação por 2, obtemos x - y + z = 0.
Substituindo o valor de x nessa equação:
4y - 3z - y + z = 0
3y - 2z = 0
3y = 2z
y = 2z/3.
Logo,
x = 4.(2z/3) - 3z
x = 8z/3 - 3z
x = -z/3.
Substituindo os valores de x e y na primeira equação do sistema:
5(-z/3) + 2z/3 + z = 0
-5z/3 + 2z/3 + z = 0
-5z + 2z + 3z = 0
0 = 0.
O sistema possui infinitas soluções da forma (-z/3,2z/3,z).
Se z = 0, obtemos a solução II) (0,0,0).
Se z = -3, obtemos a solução III) (1,-2,-3).
Observe que todos os termos independentes são iguais a 0. Logo, o sistema é homogêneo.
b) Da primeira equação, podemos dizer que x = -y - 6z.
Substituindo o valor de x na segunda equação:
-y - 6z - y - z = 5
-2y - 7z = 5
2y = -7z - 5
y = (-7z - 5)/2.
Logo,
x = -(-7z - 5)/2 - 6z
x = (7z + 5)/2 - 6z
x = (-5z + 5)/2.
Substituindo os valores de x e y na terceira equação:
2(-5z + 5)/2 - 6(-7z - 5)/2 - z = 5
-5z + 5 - 3(-7z - 5) - z = 5
-5z + 21z + 15 - z = 0
15z = -15
z = -1.
Portanto, x = 5 e y = 1.
A solução do sistema é II) (5,1,-1).
O sistema é não homogêneo porque alguns termos independentes são diferentes de zero.
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