Question

em cada item ,para quais valores de x o logaritmo está definido?​

Answer 1

A) O logaritmo está definido para $x>-1$

B) O logaritmo está definido para $-1<x<3$

C) O logaritmo está definido para $x>-8$

D) O logaritmo está definido para $x<-3$ e$x>3$

A função logaritmo é definida pela seguinte equivalência:

$b^y=x \implies Log_b x=y$

onde b é positivo.

Por esta definição, vemos que x não pode ser negativo e nem zero.

Se for negativo teremos que $b^y=-x$. Supondo que b é positivo. isto é absurdo. (caso reste dúvida, procure um número X tal que é negativo e verá que não existe)

E y=0 acontece apenas quando x tende a infinito.

Sejam então os seguintes logaritmos:

A) $Log(\dfrac{1}{x+1})$

Para qualquer$x< -1$ , o argumento do logaritmo é negativo.

Para $x=-1$ Temos um problema de divisão por zero. Por isso a função não pode ser definida neste ponto.

Não há problema nos pontos $x>-1$

B) $Log(-x^2+2x+3)$

O argumento do logaritmo é $-x^2+2x+3$

Note primeiro que a concavidade desta parábola está voltada pra baixo por causa do fator $-x^2$.

Isto quer dizer que a parábola cresce para baixo.

Vamos usar fatoração para determinar as raízes (pontos onde a função zera) desta função quadrática.

$-x^2+2x+3=-(x^2-2x-3)=-(x-3)(x+1)$

As raizes entao sao os valores x=3 e x=-1.

Como a função cresce para baixo, então os valores no intervalo aberto $(-1,3)$ são positivos.

Logo os valores onde o logaritmo está definido são os pontos entre menos um e mais três, exceto pelas extremidades.

Escrevemos então que o logaritmo está definido para $-1<x<3$

C) $Log(x+8)$

Está é uma função linear. É fácil ver que x+8=0 quando $x=-8$.

Para todo valor maior do que -8 teremos o logaritmo definido.

Escrevemos então que o logaritmo está definido para $x>-8$

D) $Log(x^2-9)$

A função quadrática tem concavidade para cima e raízes $x=3$e $x=-3$

Por ter concavidade para cima e raízes distintas, sabemos que o vértice esta abaixo do eixo x.

Então, a função está definida para os valores $x<-3$ e$x>3$