Em cada item, determine os valores de m para os quais a condição sobre a equação de incógnita x seja satisfeita.
a) -15x^2+3x+m+2=0
Condição: tenha duas raízes reais e distintas
b) 3x^2-(2m+6)x+12=0
Condição: tenha duas raízes reais e iguais
c)2x^2+8x-4m+2=0
Condição: não tenha raiz real
d)(m-2)x^2-2mx+m-1=0
Condição: tenha duas raízes reais e iguais
Soluções para a tarefa
Os valores de m encontrados foram: a) m > 43/20; b) m = -9 ou m = 3; c) m < -3/2; d) m = 4/3.
Em uma equação do segundo grau vale as seguintes regras:
- Se Δ > 0, então a equação possui duas raízes reais distintas
- Se Δ = 0, então a equação possui duas raízes reais iguais
- Se Δ < 0, então a equação não possui raízes reais.
a) Dado que -15x² + 3x + m + 2 = 0, temos que:
Δ = 3² - 4.(-15).(m + 2)
Δ = 9 + 60m + 120
Δ = 60m + 129
Para a equação ter duas raízes reais distintas, temos que:
60m + 129 > 0
60m > -129
m > 43/20.
b) Dado que 3x² - (2m + 6)x + 12 = 0, temos que:
Δ = (-2m - 6)² - 4.3.12
Δ = 4m² + 24m + 36 - 144
Δ = 4m² + 24m - 108.
Para a equação ter duas raízes reais iguais:
4m² + 24m - 108 = 0
m = -9 ou m = 3.
c) Dado que 2x² + 8x - 4m + 2 = 0, temos que:
Δ = 8² - 4.2.(-4m + 2)
Δ = 64 + 32m - 16
Δ = 32m + 48.
Portanto, para a equação não ter raízes reais:
32m + 48 < 0
32m < -48
m < -3/2.
d) Sendo (m - 2)x² - 2mx + m - 1 = 0, temos que:
Δ = (-2m)² - 4.(m - 2)(m - 1)
Δ = 4m² - 4(m² - m - 2m + 2)
Δ = 4m² - 4(m² - 3m + 2)
Δ = 4m² - 4m² + 12m - 8
Δ = 12m - 8.
Para a equação ter duas raízes reais iguais, devemos ter:
12m - 8 = 0
12m = 8
m = 4/3.