Question

Em cada item, determine, caso existam, as coordenadas do(s) ponto(s) de interseção entre a reta r e a circunferência © dadas.
a) ©: (x+1)^2 + (y+1)^2 = 8 e r: y+x=2
b) ©: x^2 + 10x + y^2 - 4y + 23 = 0 e r: 5x+y-3=0

Por favor me ajudem! É urgente!!!! Desde já agradeço!

Answer 1

Vamos lá.

Veja, RyanAugusto, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se o ponto de intersecção das equações das circunferências discriminadas nos itens "a' e "b" abaixo com as respectivas retas "r".

a) (x+1)² + (y+1)² = 8 e a reta "r" é: x+y = 2

Primeiro vamos tomar a reta "r" e vamos isolar "y", ficando:

y = 2 - x . (I)

Agora vamos na expressão da circunferência e vamos antes desenvolver os quadrados. Assim teremos;

(x+1)² + (y+1)² = 8 ----- desenvolvendo os quadrados, teremos:

x²+2x+1 + y²+2y+1 = 8 ---- ordenando e reduzindo os termos semelhantes no 1º membro, temos:

x² + y² + 2x + 2y + 2 = 8 ---- passando "8" para o 1º membro, teremos:

x² + y² + 2x + 2y + 2 - 8 = 0 ---- ou apenas:

x² + y² + 2x + 2y - 6 = 0 ---- Agora vamos substituir "y" por "2-x", conforme encontramos lá na expressão (I). Assim, fazendo isso, teremos;

x² + (2-x)² + 2x + 2*(2-x) - 6 = 0 ---- desenvolvendo, teremos:

x² + 4-4x+x² + 2x + 4-2x - 6 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:

2x² - 4x + 2 = 0 --- para facilitar, poderemos dividir ambos os membros por "2", com o que iremos ficar apenas com:

x² - 2x + 1 = 0 ---- se você aplicar Bháskara vai constatar que serão encontradas as seguintes raízes:

x' = x'' = 1 <--- Este é o valor de "x" no ponto de intersecção.

Assim, se você agora for na expressão (I), que é esta:

y = 2 - x --- e substituir o "x" por "1" vai encontrar que:

y = 2 - 1 ----> y = 1 <--- Este é o valor de "y" no ponto de intersecção.

Assim, resumindo, temos que há apenas um ponto de intersecção entre a circunferência e a reta e que este ponto será o ponto (que vamos chamar de um ponto P qualquer) com as seguintes coordenadas:

P(1; 1) <--- Esta é a resposta para o item "a". Ou seja, como só há um ponto de intersecção entre a circunferência e a reta "r", então é porque a reta "r" é tangente à circunferência. Apenas pra você ter uma ideia visual, veja os gráficos da circunferência e da reta "r" no endereço abaixo (pois aqui no Brainly eu não sei construir gráficos). Veja lá e constate tudo o que dissemos acima.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B(x%2B1)%C2%B2+%2B+(y%2B1)%C2%B2+%3D+8,+x+%2B+y+%3D+2%7D

b) x² + y² + 10x - 4y + 23 = 0 e a equação da reta "r" é: 5x + y - 3 = 0.

Como na questão do item "a" vamos trabalhar primeiro com a equação da reta "r", que é esta:

5x + y - 3 = 0 ---- isolando "y", teremos;

y = 3 - 5x . (II)

Agora vamos na equação da circunferência e, nela, substituiremos "y" por (3-5x). Vamos apenas repetira a equação da circunferência, que é esta:

x² + y² + 10x - 4y + 23 = 0 ----- substituindo-se "y" por "3-5x", teremos:

x² + (3-5x)² + 10x - 4*(3-5x) + 23 = 0 ---- desenvolvendo, teremos:

x² + 9-30x+25x² + 10x - 12+20x + 23 = 0 --- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos com:

26x² + 20 = 0---- para facilitar poderemos dividir ambos os membros "2", com o que ficaremos apenas com:

13x² + 10 = 0 ---- passando "10" para o 2º membro, teremos:

13x² = - 10 --- isolando x² teremos:

x² = -10/13 --- isolando "x" iremos ficar com:

x = ± √(-10/13) <--- Impossível. Não existe raiz quadrada de números negativos. Então somos obrigados a informar que NÃO há pontos de intersecção entre a circunferência e a reta "r" do item "b".

Apenas pra você ter uma ideia visual, veja os gráficos da circunferência e da reta "r" do item "b" e constate tudo o que dissemos sobre os seus gráficos. Veja lá.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Bx%C2%B2%2By%C2%B2%2B10x-4y%2B23+%3D+0,+5x%2By-3+%3D+0%7D

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.