Question

em cada funções abaixo determine os coeficientes as raízes ( x' e x") e escreva se a parabola tem concavidade voltada para cima ou para baixo:

a) F(x) = x² - 8x + 9
b) G(x) = x² - 7x + 12
c) H(x) = -x² + 5x - 6
d) P(x) = -x² + 5x - 4​

Answer 1

Com o estudo sobre completamento de quadrados foi possível resolver os exercícios onde as soluções estão abaixo

Completando o quadrado

Completar o quadrado é um método usado para converter uma expressão quadrática da forma ax² + bx + c para a forma de vértice a(x - h)² + k. A aplicação mais comum de completar o quadrado é na resolução de uma equação quadrática. Isso pode ser feito reorganizando a expressão obtida após completar o quadrado: a(x + m)²+ n, de modo que o lado esquerdo seja um trinômio quadrado perfeito.

Sendo assim podemos resolver o exercício

a)

Como a > 0: concavidade para cima

$x^2\:-\:8x\:+\:9=0 \\\\\\ \mathrm{Escrever}\:x^2-8x+9\:\mathrm{na\:forma:\:\:}x^2+2ax+a^2\\\\\\ \mathrm{Somar\:e\:subtrair}\:\left(-4\right)^2\:\\\\\\ x^2-8x+9+\left(-4\right)^2-\left(-4\right)^2\\\\\\ x^2+2ax+a^2=\left(x+a\right)^2\\\\\\ x^2-8x+\left(-4\right)^2=\left(x-4\right)^2\\\\\\ \mathrm{Completar\:o\:cuadrado}\\\\\\\\\left(x-4\right)^2+9-\left(-4\right)^2\\\\\\ \left(x-4\right)^2-7=f(x)$

Para determinarmos as raízes basta igualarmos a 0

$\left(x-4\right)^2-7=0\\\\\\\left(x-4\right)^2=7\\\\\\ \mathrm{Para\:}\left(g\left(x\right)\right)^2=f\left(a\right)\mathrm{\:as\:solucoes\:sao\:}g\left(x\right)=\sqrt{f\left(a\right)},\:\:-\sqrt{f\left(a\right)}\\\\\\ x=\sqrt{7}+4,\:x=-\sqrt{7}+4$

b)

Como a > 0: concavidade para cima

$x^2\:-\:7x\:+\:12=0\\\\\\ x^2-7x+12+\left(-\dfrac{7}{2}\right)^2-\left(-\dfrac{7}{2}\right)^2\\\\\\ x^2-7x+\left(-\dfrac{7}{2}\right)^2=\left(x-\dfrac{7}{2}\right)^2\\\\\\ \left(x-\dfrac{7}{2}\right)^2+12-\left(-\dfrac{7}{2}\right)^2\\\\\\ \left(x-\frac{7}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}=G(x)$

Para determinarmos as raízes basta igualarmos a 0

$\left(x-\frac{7}{2}\right)^2-\frac{1}{4}=0\\\\\\ \left(x-\frac{7}{2}\right)^2-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=0+\frac{1}{4}\\\\\\ \left(x-\frac{7}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\\\\\\ x=4,\:x=3$

c)Como a < 0: concavidade para baixo

$-x^2\:+\:5x\:-\:6\\\\\\ -\left(x^2-5x+6\right)\\\\\\ -\left(x^2-5x+6+\left(-\frac{5}{2}\right)^2-\left(-\frac{5}{2}\right)^2\right)\\\\\\ -\left(\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+6-\left(-\frac{5}{2}\right)^2\right)\\\\\\ -\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{1}{4}$

Para determinarmos as raízes basta igualarmos a 0

$-\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{1}{4}=0\\\\\\ -\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0-\frac{1}{4}\\\\\\ -\left(x-\frac{5}{2}\right)^2=-\frac{1}{4}\\\\\\ \frac{-\left(x-\frac{5}{2}\right)^2}{-1}=\frac{-\frac{1}{4}}{-1}\\\\\\ \frac{-\left(x-\frac{5}{2}\right)^2}{-1}=\frac{-\frac{1}{4}}{-1}\\\\\\ x=3,\:x=2$

d)Como a < 0: concavidade para baixo

$-x^2+5x-4\\\\\\ -\left(x^2-5x+4\right)\\\\\\ -\left(x^2-5x+4+\left(-\frac{5}{2}\right)^2-\left(-\frac{5}{2}\right)^2\right)\\\\\\ -\left(\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+4-\left(-\frac{5}{2}\right)^2\right)\\\\\\ -\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{9}{4}$

Para determinarmos as raízes basta igualarmos a 0

$-\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{9}{4}=0\\\\\\ -\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}=0-\frac{9}{4}\\\\\\ -\left(x-\frac{5}{2}\right)^2=-\frac{9}{4}\\\\\\ \frac{-\left(x-\frac{5}{2}\right)^2}{-1}=\frac{-\frac{9}{4}}{-1}\\\\\\ \left(x-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\\\\\\ x=4,\:x=1$

Saiba mais sobre completar quadrados: https://brainly.com.br/tarefa/5589458]

#SPJ1