Question

Em cada função mostrada, calcule a concavidade, os zeros, as coordenadas do vértice, estudo do sinal e o esboço do gráfico
a) f(x)=x elevado a 2 - 3x -10
b) f(x)=-x elevado a 2 + x -20

Answer 1

Olá.

 

Nessa questão, queremos saber:

 

- A posição da concavidade da parábola: “é para cima ou para baixo?” (equivale a estudo de sinal)

- Raízes (os zeros);

- Coordenadas do vértice;

 

Para calcular a concavidade, temos de analisar se o sinal do coeficiente “a”, levando em consideração a forma ax² + bx + c = 0.

 

- Se a > 0, a concavidade será pra baixo;

- Se a < 0, a concavidade será pra cima.

 

Para calcular as raízes, devemos igualar a função a zero e resolver como uma equação de grau n (no caso, será sempre segundo grau).

 

Para conseguir as coordenadas do vértice, usamos a forma:

 

$\mathsf{V\left(\dfrac{-b}{2a},\dfrac{-\Delta}{4a}\right)}$

 

Para fazer o gráfico, tem de fazer com que um linha passe pelas raízes, indo primeiro para o vértice.

 

Agora, vamos aos cálculos de cada caso.

 

Questão A

 

Temos a função: F(x) = x² - 3x - 10

 

x > 0, logo, a concavidade é para baixo.

 

Vamos ao cálculo das raízes.

 

$\mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4(1)(-10)}}{2(1)}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{3\pm\sqrt{9+40}}{2}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{3\pm\sqrt{49}}{2}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{3\pm7}{2}}$

 

Encontrando de vez as raízes, teremos:

 

$\mathsf{x=\dfrac{3\pm7}{2}}\\\\\\ \mathsf{x'=\dfrac{3+7}{2}=\dfrac{10}{2}=5}\\\\\\ \mathsf{x''=\dfrac{3-7}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2}\\\\\\ \boxed{\mathsf{S=\{x\in\mathbb{Z}~|~-2,5\}}}$

 

Encontrando as coordenadas do vértice, teremos:

 

$\mathsf{V\left(\dfrac{-b}{2a},\dfrac{-\Delta}{4a}\right)}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-(-3)}{2(1)}=\dfrac{3}{2}=1,5}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{-\Delta}{4a}=\dfrac{-7}{4(1)}=\dfrac{-7}{4}=-1,75}\\\\\\ \boxed{\mathsf{V(1,5,-1,75)}}$

 

Questão B

 

Temos a função: F(x) = -x² + 2x - 4

(baseando no anexo)

 

x < 0, logo, a concavidade é para cima.

 

Vamos ao cálculo das raízes.

 

$\mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4(-1)(-4)}}{2(-1)}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-2\pm\sqrt{-12}}{-2}}$

Como o delta é negativo, podemos afirmar que não tem raízes reais.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$