Question

Em cada caso verifique se os pontos estão alinhados ou se formam um triângulo. Caso seja um triângulo, indique sua área:
a) A(3, −2), B(0, 1) e c(−3, 4)
b) A(−2, 5), B(−5, 6) e c(−8, 7)
c) A(1, −1), B(2, 1) e c(3, 2)
d) A(0, 2), B(1, 3) e c(−1, 1)

Answer 1

Olá!

Para saber se os pontos estão alinhados ou são triângulos, basta montar uma matriz 3x3, igualá-la a 1 e calcular o determinante.

Se o determinante for igual a 0, então os pontos estão alinhados. Se for diferente de zero, então calculamos o módulo e dividimos por 2. E assim encontramos a área do triângulo.

Questão a)

Considerando a matriz a seguir, vamos calcular seu determinante:

║ 3    -2      1 ║

║  0     1      1 ║

║ -3     4     1 ║

3    -2     1      3    -2

0     1     1     0     1

-3     4     1    -3     4

Det = [3•1•1] +  [(-2)•1•(-3)] + [1•0•4]    -   [1•1•(-3)] + [3•1•4] + [(-2)•0•1] =

Det =  (3 + 6 + 0)  - (-3 + 12 + 0)

Det = 9 - 9

Det = 0

Os pontos estão alinhados.

Questão b)

Considerando a matriz a seguir, vamos calcular seu determinante:

║ -2    5    1 ║

║ -5    6    1 ║

║ -8    7    1 ║

-2     5     1     -2     5

-5     6    1     -5     6

-8     7     1     -8     7

Det = [(-2)•6•1] +  [5•1•(-8)] + [1•(-5)•7]    -   [1•6•(-8)] + [(-2)•1•7] + [5•(-5)•1] =

Det =  [-12 + (-40) + (-35) ]  - [-48 + (-14) + (-25)]

Det = (-12 - 40 - 35)  - ( -48 - 14 - 25)

Det = -87 - (-87)

Det = -87 + 87

Det = 0

Os pontos estão alinhados.

Questão c)

Considerando a matriz a seguir, vamos calcular seu determinante:

║ 1    -1     1 ║

║ 2    1     1 ║

║ 3    2    1 ║

1    -1     1    1    -1

2   1     1     2    1

3    2   1     3    2

Det = [(1•1•1] +  [(-1)•1•3] + [1•2•2]    -   [1•1•3] + [1•1•2] + [(-1)•2•1] =

Det =  [1 + (-3) + 4 ]  -  [3 + 2 + (-2)]

Det = (1 - 3 +4)  - ( 3 + 2 - 2)

Det = 2 - 3

Det = -1

Os pontos formam um triângulo.

Área do triângulo:

A = I Det l / 2

A = I -1 I / 2

Área do triângulo:   $\dfrac{1}{2}~~ uA$  

Questão d)

Considerando a matriz a seguir, vamos calcular seu determinante:

║  0    2    1 ║

║  1     3    1 ║

║ -1     1     1 ║

 0     2   1      0     2

 1      3     1      1     3

-1      1      1    -1       1

Det = [0•3•1] +  [2•1•(-1)] + [1•1•1]    -   [1•3•(-1)] + [0•1•1] + [2•1•1] =

Det =  [0 + (-2) + 1 ]  - [-3 + 0 + 2]

Det = (-2 + 1)  - ( -1)

Det = -1 + 1

Det = 0

Os pontos estão alinhados.

:)