Question

Em cada caso, determine o volume do cone reto em que:

A) o raio da base mede 8 cm e a área lateral é igual a 80π cm²
B) a geratriz mede 15 cm e a área da base é igual a 144π cm²
C) a geratriz mede 5 cm e a área total é igual a 24π cm²

Answer 1

a)
$Al = \pi.r.g \\ 80\pi = \pi.8.g \\ \\ g = \frac{80\pi}{8\pi} \\ \\ g = 10cm \\ \\ \\ \\ r^2 + h^2 = g^2 \\ 8^2 + h^2 = 10^2 \\ h^2 = 100 - 64 \\ h^2 =36 \\ h = 6cm \\ \\ \\ \\ V = \frac{A_b.h}{3} \\ \\ V = \frac{\pi.8^2.6}{3} \\ \\ V = 64\pi. 2 \\ V = 128\pi cm^3$

b)

$A_b = \pi r^2 \\ 144\pi = \pi.r^2 \\ r^2 = 144 \\ r = 12$

$r^2 + h^2 = g^2 \\ 12^2 + h^2 = 15^2 \\ h^2 = 225 - 144 \\ h^2 = 81 \\ h = 9cm \\ \\ \\ \\ V = \frac{A_b.h}{3} \\ \\ V = \frac{144\pi.9}{3} \\ \\ V = 144\pi. 3 \\ V = 432\pi cm^3$


c)

$A_t = A_b + A_l \\ 24\pi = \pi.r^2 + \pi.r.g \\ 24\pi = \pi.r^2 + \pi.r.5 \\24 = r^2 + 5r \\ r^2 + 5r - 24 = 0$

Equação do segundo grau...

Por soma e produto, as raízes são -8 e 3, mas como são medidas geométricas, somente o 3 é válido, assim:

r = 3cm

h = 4cm

$V = \frac{A_b.h}{3} \\ \\ V = \frac{\pi.3^2.4}{3} \\ \\ V = 3\pi.4 \\ V = 12\pi cm^3$