Question

Em cada caso determine a medida de x indicada no triângulo reta​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Relações métricas no triângulo retângulo

a)

$\sf h^2=m\cdot n$

$\sf x^2=4\cdot12$

$\sf x^2=48$

$\sf x=\sqrt{48}$

$\sf x=\sqrt{16\cdot3}$

$\sf \red{x=4\sqrt{3}}$

b) Seja RH = h a altura relativa à hipotenusa

$\sf a\cdot h=b\cdot c$

$\sf 5\sqrt{5}\cdot h=10\cdot5$

$\sf 5\sqrt{5}\cdot h=50$

$\sf h=\dfrac{50}{5\sqrt{5}}$

$\sf h=\dfrac{10}{\sqrt{5}}$

$\sf h=\dfrac{10}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

$\sf h=\dfrac{10\sqrt{5}}{5}$

$\sf h=2\sqrt{5}$

Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo QRH:

$\sf x^2+(2\sqrt{5})^2=10^2$

$\sf x^2+4\cdot5=100$

$\sf x^2+20=100$

$\sf x^2=100-20$

$\sf x^2=80$

$\sf x=\sqrt{80}$

$\sf x=\sqrt{16\cdot5}$

$\sf \red{x=4\sqrt{5}}$

c) Seja AC = b

Pelo Teorema de Pitágoras:

$\sf b^2+10^2=20^2$

$\sf b^2+100=400$

$\sf b^2=400-100$

$\sf b^2=300$

$\sf b=\sqrt{300}$

$\sf b=\sqrt{100\cdot3}$

$\sf b=10\sqrt{3}$

=> valor de x

$\sf a\cdot h=b\cdot c$

$\sf 20\cdot x=10\cdot10\sqrt{3}$

$\sf 20x=100\sqrt{3}$

$\sf x=\dfrac{100\sqrt{3}}{20}$

$\sf \red{x=5\sqrt{3}}$

d)

$\sf a\cdot h=b\cdot c$

$\sf 13\cdot x=5\cdot12$

$\sf 13x=60$

$\sf \red{x=\dfrac{60}{13}}$

e)

$\sf a\cdot h=b\cdot c$

$\sf 4\sqrt{5}\cdot\dfrac{8\sqrt{5}}{5}=x\cdot2x$

$\sf \dfrac{32\cdot5}{5}=2x^2$

$\sf \dfrac{160}{5}=2x^2$

$\sf 32=2x^2$

$\sf x^2=\dfrac{32}{2}$

$\sf x^2=16$

$\sf x=\sqrt{16}$

$\sf \red{x=4}$

Answer 2

Relações métricas de um triângulo retângulo

As medidas de comprimento de um triângulo retângulo são representadas pelas seguintes notações:

• a = é a medida da hipotenusa;
• b, c = são as medidas dos catetos;
• h = é a medida da altura do triângulo;
• n, m = é a projeção do cateto sobre a hipotenusa;

Abaixo, é apresentado as relações entre suas medidas de comprimento do triângulo retângulo:

$a = m + n ~~~~~~(1)\\a^2 = b^2+ c^2~~~~(2)\\h^2=m\cdot n ~~~~~~(3)\\c^2 = a \cdot m~~~~~~(4)\\b^2 = a \cdot n~~~~~~(5)\\a\cdot h = b\cdot c~~~~(6)$

Item A)

A altura do triângulo retângulo é igual a 2√3 u.c..

Devemos determinar a altura do triângulo retângulo, para isso iremos usar a relação métrica 3:

$h^2=m\cdot n ~~\Rightarrow h=\sqrt{4~u.c. \cdot 12~u.c.}\\\\\\h=\sqrt{48}~u.c.=\sqrt{2^2\cdot 3}~u.c.\Rightarrow \boxed{\begin{array}{lr}\boxed{\begin{array}{lr}h=2\sqrt{3}=~u.c.\end{array}}\end{array}}$

Item B)

A medida da projeção do cateto na hipotenusa do triângulo retângulo é igual a 4√5 u.c..

Devemos determinar projeção do cateto na hipotenusa do triângulo retângulo, para isso iremos usar a relação métrica 4:

$c^2=a\cdot m ~~\Rightarrow m=\dfrac{c^2}{a}=\dfrac{10^2~u.c.^2}{5\sqrt{5}~u.c.}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\\\m=\dfrac{100\sqrt{5}}{5\cdot5}~u.c.\Rightarrow m=\dfrac{100\sqrt{5}}{25}~u.c. \Rightarrow \boxed{\begin{array}{lr}\boxed{\begin{array}{lr}m=4\sqrt{5}~u.c.\end{array}}\end{array}}$

Item C)

A altura do triângulo retângulo é igual a 5√3 u.c..

Devemos determinar a altura do triângulo retângulo, para isso iremos usar a relação métrica 5, 1 e 3:

Equação 5

$b^2=a\cdot n ~~\Rightarrow n=\dfrac{b^2}{a}=\dfrac{10^2~u.c.^2}{20~u.c.}\\\\n=\dfrac{100}{20}~u.c. \Rightarrow \boxed{\begin{array}{lr}\boxed{\begin{array}{lr}n=5~u.c.\end{array}}\end{array}}$

Equação 1

$a=m+n \Rightarrow 20~u.c.=m+5u.c. \Rightarrow \boxed{\begin{array}{lr}\boxed{\begin{array}{lr}m=15~u.c.\end{array}}\end{array}}$

Equação 3

$h^2=m\cdot n ~~\Rightarrow h=\sqrt{15~u.c. \cdot 5~u.c.}\\\\\\h=\sqrt{75}~u.c.=\sqrt{5^2\cdot 3}~u.c.\Rightarrow \boxed{\begin{array}{lr}\boxed{\begin{array}{lr}h=5\sqrt{3}=~u.c.\end{array}}\end{array}}$

Item D)

A altura do triângulo retângulo é igual a 60/13 u.c..

Devemos determinar a altura do triângulo retângulo, para isso iremos usar a relação métrica 6:

$a\cdot h = b\cdot c \Rightarrow h=\dfrac{b\cdot c }{a}=\dfrac{5\cdot 12~~u.c^2}{13~~u.c.} \Rightarrow \boxed{\begin{array}{lr}\boxed{\begin{array}{lr}h=\dfrac{60}{13}~~u.c.\end{array}}\end{array}}$

Item E)

A medida dos catetos b e c triângulo retângulo são iguais a 8/5 e 16/5 u.c. e x é vale 8/5 u.c..

Devemos determinar a altura do triângulo retângulo, para isso iremos usar a relação métrica 2:

$\left( \dfrac{8\sqrt{5} }{5}\right)^2= x^2+ (2x)^2 \Rightarrow \dfrac{64\cdot 5}{25}=x^2+4x^2\\\\\\ \dfrac{64}{5}=5x^2\Rightarrow x=\sqrt{\dfrac{64}{25}} \Rightarrow \boxed{\begin{array}{lr}\boxed{\begin{array}{lr}x=\dfrac{8}{5}~~u.c.\end{array}}\end{array}}$

Portanto, o cateto b possuí 8/5 u.c. e o cateto c possuí 16/5 u.c..

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