Em cada caso, deter
cada caso, determine as equações das hiperboles seguintes e de suas assíntotas:
Soluções para a tarefa
Resposta: Do item a) é x²/9 - y²/16 = 1. Já a do item b) é y²/4 - x²/12 = 1
Explicação passo-a-passo:
A equação canônica (equação reduzida ou equação no formato padrão) de uma hipérbole com eixo real (também chamado eixo transveso) paralelo ao eixo Ox (eixo das abscissas), centrada no ponto C(x0, y0) e com as medidas dos semieixos real e conjugado dadas por a e b, respectivamente, é (x - x0)²/a² - (y - y0)²/b² = 1. Caso o eixo transverso seja paralelo ao eixo das ordenadas, a equação será (y - y0)²/a² - (x - x0)²/b² = 1 (basta permutar (x - x0) com (y - y0) e (y - y0) com (x - x0)). Seja a hipérbole cuja medida do semieixo real é a, semieixo imaginário b, também temos a medida da semidistância focal, que vale c. Conhecendo a, b e c, deduzimos uma relação notável e de grande utilidade para a obtenção da equação de uma hipérbole qualquer, que por sua vez é dada por:
c² = a² + b² (i)
As assíntotas de uma hipérbole centrada na origem do sistema cartesiano ortogonal usual são, necessariamente, representações cartesianas de funções lineares (funções do tipo y = f(x) = mx, sendo m a inclinação da reta). As assíntotas de uma hipérbole centrada na origem do plano (centro O(0, 0)) e com eixo transverso paralelo * ao eixo das abscissas são dadas por f(x) = bx/a e g(x) = - bx/a. Em outro caso, para uma hipérbole também centrada na origem, porém com eixo real paralelo ao eixo Oy (eixo das ordenadas), as assíntotas são dadas pelas retas h(x) = ax/b e j(x) = - ax/b. Agora, vamos à resolução dos itens a) e b).
Item a)
a = 3 <=> a² = 3² = 9
c = 3 + 2 = 5 <=> c² = 5² = 25
b = ?
De (i) temos:
5² = 3² + b² =>
5² - 3² = b² =>
b² = (5 + 3)(5 - 3) =>
b² = 16 e b > 0 => b = 4
Portanto, a equação da hipérbole do item a) é dada por:
(x - 0)²/9 - (y - 0)²/16 = 1 <=>
x²/9 - y²/16 = 1
As assíntotas serão as retas:
f(x) = 4x/3 e g(x) = - 4x/3
Item b)
a = 2 <=> a² = 2² = 4
c = 2 + 2 = 4 <=> c² = 4² = 16
b = ?
De (i) temos:
c² = a² + b² =>
4² = 2² + b² =>
b² = 4² - 2² =>
b² = (4 + 2)(4 - 2) =>
b² = 12 e b > 0 => b = 2raiz de(3)
Portanto, sua equação será:
(y - 0)²/4 - (x - 0)²/12 = 1 <=>
y²/4 - x²/12 = 1
As assíntotas serão as retas:
h(x) = x/raiz de(3) e j(x) = - x/raiz de(3)
* O termo "paralelo" é usado com o intuito de generalizar um dos possíveis casos existentes entre o eixo transverso e os eixos coordenados, sendo válido até mesmo quando o tal eixo estiver contido em um deles. Neste caso, o termo "paralelo" é melhor interpretado como "paralelo e coincidente".
Abraços!
Resposta:
questão A
x² /3²+ y²/2²=1
x²/9+y²/4=1
x²/9+y²/4=0
√y²/4= y/2
√x²/3 = x/3
y/2 +-x/3 = y = +- 2x/3.
questão B
y² /2²- x²/2²=1
y²/4+x²/4=1
x²/4+y²/4=0
√x²/4= x/2
√y²/2 = x/2
x/2 +-y/2 = y = +- 2x/2=x.
Explicação passo a passo:
espero ter ajudado !