Em cada caso, as retas r, s e t são paralelas. Determine os valores de x e y:
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Para as retas paralelas, os valores de x e y são:
a) x = 10/3
b) x = 5
c) x = 10/3 e y = 18/5
O Teorema de Tales, desenvolvido por Tales de Mileto, filósofo, matématico da Grécia Antiga, propôs a existência de proporcionalidade em segmentos de reta formados por retas paralelas cortadas por retas transversais.
Com esse teorema, facilita a visualização de proporção em várias aplicações, como por exemplo, em triângulos.
Como o enunciado afirma que "Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas transversais segmentos proporcionais."
Portanto, pode-se descrever matematicamente como:
ab/bc = a'b'/b'c'
LETRA A
4/6 = x/5
6x = 20
x = 20/6 = 10/3
LETRA B
Na questão b, deve-se interpretar que o segmento RS corresponde a x-4
Aplicando o Teorema de Tales:
x/3 = 4/(x-4)
4×3 = x×(x-4)
Desenvolvendo matematicamente:
12 = x² -4x
x²-4x-12 = 0
Sabe-se que para uma função de segundo grau qualquer f(x) = ax² + bx +c, as raízes da equação podem ser obtidas por meio da conhecida fórmula de Baskhara:
x = (- b ± √b²-4×a×c)/(2×a)
Pode-se inferir que a = 1; b = -4; c = -16
Portanto, temos que:
x = (- (-4) ± √(-4)²-(4×1×-12))/(2×1)
x = 4 ± √64 / 2
x = (4 ± 8) / 2
x = 6 ou x = -2 . Como se trata de um segmento de reta, a resposta deve ser unicamente positiva, portanto, x = 6.
LETRA C
Resolução em duas aplicações do teorema: Primeiro achar a variável x e depois disso, a y.
3/2 = 5/x
5×2 = 3×x
10 = 3x
x = 10/3
Aplicando novamente para o conjunto de retas paralelas e transversais, temos que podemos achar "y" através da seguinte proporção:
3/(2+y) = 5/(x+6)
Como sabemos que x = 10/3, podemos substituir:
10 + 5y = 3((10/3)+6)
10 + 5y = 3(10/3 + 18/3)
10 + 5y = 3(28/3)
10 + 5y = 28
5y = 28-10
y = 18/5
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