Question

Em cada casa de um tabuleiro 6 x 6 existe uma lâmpada. Duas lâmpadas são vizinhas quando estão em casas com um lado comum. Inicialmente estão acesas algumas lâmpadas e, a cada minuto, cada lâmpada vizinha de pelo menos duas lâmpadas acesas também acende. Qual é o menor número de lâmpadas que devem estar acesas inicialmente, de modo a garantir que, em algum momento, todas as lâmpadas estarão acesas?

Answer 1

Resposta:

• 6 lâmpadas

Explicação passo-a-passo:

Vamos considerar que já haviam lâmpadas inicialmente acessas.

Desta forma, notaremos que o perímetro formado pelas lâmpadas acessas permanecerá inalterado.

Agora, vejamos o por que:

• Se uma lâmpada Z acender e está lâmpada possuir ao menos duas lâmpadas vizinhas acessas, teremos ao menos dois lados desta lâmpada Z que não encontram-se próximos de nenhuma lâmpada acessa.

• Assim, ao menos dois lados saem da área do perímetro de lâmpadas acessas, e no máximo dois lados serão adicionados.

• Não há aumento do perímetro, mesmo que mais lâmpadas sejam acessas.

Podemos usar como exemplo a seguinte expressão:

• Temos N lâmpadas acessas inicialmente;
• Logo, teremos um perímetro máximo de 4 N (4 lados).
• Com base nas casas do tabuleiro teremos:

                                                   4 * 3 * 6 = 24.

• Se 4 N (4 lados) resulta em 24;
• 4 N > 24
• N > 6

Portanto, para que o tabuleiro apresente todas as lâmpadas acessas seriam necessárias ao menos 6 lâmpadas acessas inicialmente.

Com essas 6 Lampadas, poderíamos acender todas as demais, desde fossem acessas todas as lâmpadas de uma das diagonais.