Em cada casa de um tabuleiro 6,3, 6 existe uma lâmpada. duas lâmpadas são vizinhos quando estão em casas com um lado comum.inicialmente estão acesso às algumas lâmpadas e, a cada minuto, cada lâmpada vizinha de pelo menos duas lâmpadas acesas também acende. Qual é o menor número de lâmpadas que devem estar acesas inicialmente, de modo garantir que, em algum momento,todas as lâmpadas estarão acesas?
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Resposta:
6 lâmpadas
Explicação passo-a-passo:
Se elaborarmos a caracterização das lâmpadas que já se encontravam inicialmente acessas, veremos que o perímetro total formado pelas lâmpadas acessas não aumentará.
Suponhamos que uma lâmpada X acende em determinado tempo e tem ao menos duas lâmpadas vizinhas acessas.
Nesse caso, pelo menos dois lados desta lâmpada X não são lados de nenhuma lâmpada acessa.
Logo, ao menos dois lados saem da área do perímetro de lâmpadas acessas, enquanto que no máximo dois lados serão adicionados.
Vemos, portanto, que não há uma aumento do perímetro, ainda que hajam mais lâmpadas acessas.
Exemplo:
- Possuindo N lâmpadas acessas inicialmente, teremos um perímetro máximo de 4n (4 lados).
- Este perímetro formado pelas lâmpadas, com base no tabuleiro será de:
4 * 3 * 6 = 24.
- Logo, se 4n > 24 ⇔ n > 6.
- Assim, se desejarmos que todo o tabuleiro apresente lâmpadas acessas seriam necessárias ao menos 6 lâmpadas acessas inicialmente.
- Se acendermos todas as lâmpadas do tabuleiro partindo apenas das 6 lâmpadas inicialmente acessas é acender todas as lâmpadas de uma das diagonais.
Anexos:
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