Question

Em cada aresta da base do prisma retangular reto ABCDEFGH foram marcados os pontos médios P, M, N, O, J, K, L e a partir desses pontos foi criado o prisma retangular reta JKILPMNO.
a) O volume do prisma JKILPMNO equivale ao volume do prisma ABCDEFGH em
qual porcentagem ?
b) Se AB = 3 cm, AC = √13 cm e AE = 6cm, qual a área lateral do prisma JKILPMNO,
em cm2 ?

Answer 1

O paralelogramo MNOP (b2) é formado pelos pontos médios dos lados da base retangular ABCD (b1). Assim, a sua área é igual à metade da área do retângulo ABCD. 
Como o volume de um prisma é igual ao produto de sua base pela sua altura, o volume do prisma IJKLMNOP é igual à metade do volume do prisma original ABCDEFGH, ou seja, o seu volume é igual a 50% do volume  do prisma ABCDEFGH.

Para o cálculo do volume do prisma (2) IJKLMNOP, vamos calcular o volume do prisma original (1) ABCDEFGH e dividir o valor obtido por 2.
O volume do prisma 1 (V1) é igual a:
V1 = Ab1 × AE
Ab1 = AB × BC
A aresta BC é cateto do triângulo retângulo ABC, no qual:
AB = outro cateto = 3 cm
AC = hipotenusa = √13
Aplicando-se o teorema de Pitágoras, obtemos:
AC² = AB² + BC²
BC² = AC² - AB²
BC² = (√13)² - 3²
BC² = 13 - 9
BC² = 4
BC = √4
BC = 2 cm
Assim, a área do retângulo ABCD (Ab1) é igual a:
Ab1 = AB × BC
Ab1 = 3 cm × 2 cm
Ab1 = 6 cm²
O volume do prisma 1 fica:
V1 = 6 cm² × AE 
V1 = 6 cm² × 6 cm
V1 = 36 cm³

Como vimos, o volume do prisma 2 (V2) é igual à metade de V1. Então:
V2 = 36 cm³ ÷ 2

V2 = 18 cm³, volume do prisma IJKLMNOP