Question

em c (conj. números complexos), qual é o conjunto solução das equações a seguir

a) x²- 4x + 5 = 0
b) x²- 2x + 50 = 0​

Answer 1

Resposta: a = {x' = 2+i, x" = 2-i} e b = {x' = 7i, x" = -7i}

Explicação passo-a-passo:

Por serem equações de 2º grau, vamos começar utilizando a fórmula de Bháskara.

$Δ = b^{2} -4.a.c$

Primeiro separamos os elementos em a, b e c.

$a = 1\\b= -4\\c= 5$

Agora fazemos a conta para encontrar o delta.

$Δ = (-4)^{2} - 4.1.5\\Δ = 16-20\\Δ = -4$

Achado o valor de delta, agora vamos encontrar os valores de x.

$x = \frac{-b+-\sqrt{Δ} }{2.a} \\x = \frac{-(-4)+-\sqrt{-4} }{2.1}$

Uma observação importante: sempre que for calcular a raiz quadrada de um número negativo, deve se associar a raiz um número imaginário, representado pela letra i.

$x = \frac{4+-\sqrt{(-1)4} }{2} = \frac{4+-2i}{2}$

Feito isso, agora retomamos a operação para encontrar os valores de x.

$x' = \frac{4+2i}{2} = 2+i\\x" = \frac{4-2i}{2} = 2-i$

Portanto, o conjunto solução da primeira equação é:

$\left \{ {{x'=2+i} \atop {x"=2-i}} \right.$

Na segunda equação, vamos fazer do mesmo modo. Começamos com a fórmula de Bháskara.

$Δ = b^{2} -4.a.c$

Antes de tudo, vamos separar os elementos da equação em a, b e c.

$a = 1\\b = -2\\c = 50$

Agora utilizamos a fórmula para encontrar o valor de delta.

$Δ = (-2)^{2} -4.1.50\\Δ = 4 - 200\\Δ = -196$

Achamos o delta. Agora vamos encontrar os valores de x.

$x = \frac{-b+-\sqrt{Δ} }{2.a} \\x = \frac{-(-2)+-\sqrt{-196} }{2.1}\\x = \frac{2+-\sqrt{-196} }{2}$

Como podemos perceber, aqui a raiz também contém um numeral negativo. O que vamos fazer: associar a raiz um número imaginário e representar o mesmo pela letra i.

$x = \frac{2+-\sqrt{(-1)196} }{2} = \frac{2+-14i}{2}$

Agora podemos encontrar os valores de x.

$x' = \frac{2+14i}{2} = 7i\\x" = \frac{2-14i}{2} = -7i$

Portanto, o conjunto solução da segunda equação é:

$\left \{ {{x'=7i} \atop {x"=-7i}} \right.$

Espero ter ajudado.