Question

Em alguns momentos é de interesse calcular pontos de máximo e/ou mínimo de funções, principalmente quando se deseja otimizar um problema que foi descrito em linguagem matemática. A otimização pode ser executada derivando a função e igualando-a a zero, isso permite encontrar os pontos críticos, possíveis máximo ou mínimo da função.

F(x,y) = -3x^2 + 5y^2 - 2xy + x + y - 10

Utilizando as regras de derivação e a regra da derivada segunda, ASSINALE a alternativa que apresenta os pontos de máximo e mínimo da função apresentada com sua classificação. Alternativas
Alternativa 1: (3/14; 1/7) Ponto de Mínimo
Alternativa 2: (5/14; 2/7) Ponto de Máximo
Alternativa 3: (-1/14; -4/7) Ponto de Mínimo
Alternativa 4: (-3/14; -1/7) Ponto de Mínimo
Alternativa 5: (-9/14; 3/7) Ponto de Máximo

Answer 1

O ponto (-3/14, -1/7) é um ponto de mínimo relativo.

Para determinar os pontos máximos ou mínimos de uma função de duas variáveis, seguimos o seguinte procedimento:

• Determinar os pontos críticos da função (fx(x,y) = 0 e fy(x,y) = 0):

fx(x,y) = 6x - 2y + 1

fy(x,y) = 10y - 2x + 1

Igualando a zero:

6x - 2y + 1 = 0

10y - 2x + 1 = 0

Resolvendo o sistema, encontramos:

x = -3/14 e y = -1/7

• Com os pontos críticos devemos falcular a expressão D(x,y) = fxx(x,y).fyy(x,y) - fxy(x,y)²:

fxx(x,y) = 6

fyy(x,y) = 10

fxy(x,y) = -2

D(x,y) = 6.10 - (-2)² = 56

• Analisando o resultado de D(x,y), temos que se D(x,y) < 0, existe um ponto de sela em f(a,b), se D(x,y) > 0, temos que calcular fxx(a,b). Como fxx(x,y) é uma constante e positiva, o ponto (x, y) que encontramos é um mínimo relativo.

Resposta: alternativa 4