Question

Em algumas situações é interessante analisar o comportamento de funções utilizando os conceitos de limite e aplicando-os aos extremos da função, ou seja, fazendo x tender a infinito positivo (+∞) ou infinito negativo (-∞). Neste contexto, assinale a alternativa que apresenta o limite da função R(x), que é definida como a razão entre A(x) e B(x), para x→∞. Considere A(x) = 8x4+2x3-5x2+7x-9 e B(x) = -3x4+x3-5x2-3x+9 e R(x) = A(x)/B(x).

O limite de R(x) para é 4.
O limite de R(x) para é -8/3.
O limite de R(x) para é 1.
O limite de R(x) para é 8/3.
O limite de R(x) para é -1.

Answer 1

Olá

O limite de R(x) para é -8/3


Resolução

Calculando o limite da função quando tende a mais infinito

Como é um limite envolvendo o infinito, então basta colocar em evidencia o maior expoente

Irei fazer o limite geral, pois os resultados são iguais, logo não tem necessidade de fazer tendendo a mais infinito e depois a menos infinito.

$\lim_{x \to \infty} \frac{8x^4+2x^3-5x^2+7x-9}{-3x^4+x^3-5x^2-3x+9} \\ \\ \\ \lim_{x \to \infty} \frac{x^4(8+ \frac{2x^3}{x^4} - \frac{5x^2}{x^4} +\frac{7x}{x^4}- \frac{9}{x^4} )}{x^4(-3+ \frac{x^3}{x^4} - \frac{5x^2}{x^4} -\frac{3x}{x^4}+ \frac{9}{x^4} )} \\ \\ \\ \mathtt{\lim_{x \to \infty} \frac{\diagup\!\!\!\!x^4(8+ \frac{2x^3}{x^4} - \frac{5x^2}{x^4} +\frac{7x}{x^4}- \frac{9}{x^4} )}{\diagup\!\!\!\!\!x^4(-3+ \frac{x^3}{x^4} - \frac{5x^2}{x^4} -\frac{3x}{x^4}+ \frac{9}{x^4} )}}$


$\mathtt{\lim_{x \to \infty} \frac{(8+ \diagup\!\!\!\!\!\frac{2x^3}{x^4} -\diagup\!\!\!\!\!\! \frac{5x^2}{x^4} + \diagup\!\!\!\!\!\! \frac{7x}{x^4}- \diagup\!\!\!\!\!\! \frac{9}{x^4} )}{(-3+ \diagup\!\!\!\!\!\! \frac{x^3}{x^4} - \diagup\!\!\!\!\!\! \frac{5x^2}{x^4} -\diagup\!\!\!\!\!\! \frac{3x}{x^4}+ \diagup\!\!\!\!\!\! \frac{9}{x^4} )}} = \frac{8}{-3}=\boxed{\boxed{- \frac{8}{3} }}$