Question

Em 1596, em sua obra Mysterium Cosmographicum, Johannes Kepler estabeleceu um modelo do cosmos onde os cinco poliedros regulares são colocados um dentro do outro, separados por esferas. A ideia de Kepler era relacionaras órbitas . • dos planetas com as razões harmônicas dos poliedros regulares. A razão harmônica de um poliedro regular é a razão entre o raio da esfera circunscrita e o raio da esfera inscrita no poliedro. A esfera circunscrita a um poliedro regular é aquela que contém todos os vértices do poliedro. A esfera inscrita, por sua vez, é aquela que é tangente a cada uma das faces do poliedro. A razão harmônica de qualquer cubo é igual a: (A) 1 (D) 73 (B) 2 (E) 3/2 (C) 72

Answer 1

Olá Isabella.
   Para responder essa questão vamos imaginar primeiro qual seria o raio da circunferência circunscrita. Concorda comigo que já que ela tangencia os vértices, seu raio será igual a distancia de um vértice, ao centro do cubo?       Para saber qual é essa distancia basta dividir a diagonal de um cubo que é dada por $L \sqrt{3}$, por 2.

   Nossa segunda linha de raciocínio, será em achar o raio da circunferência inscrita. Concorda que já que ela tangencia os lados do cubo, logo seu raio será a distancia do meio do lado do cubo até seu centro? Logo seu raio será $\frac{L}{2}$ .

Agora, partindo dos princípios acima, basta fazer a razão, vejamos.


   $\frac{ \frac{L \sqrt{3} }{2} }{ \frac{L}{2} } \\ \\ = \sqrt{3}$

Note que $\frac{L}{2}$ se anula, sobrando apenas o termo $\sqrt{3}$

Resposta correta: Letra D