Question

Em 1545, o italiano Girolamo Cardano (1501-1576) publicou o seu mais importante livro
A grande arte, e tão orgulhoso ficou que, no final, escreveu a frase: “Escrito em cinco anos, pode durar muitos milhares”. No livro, um problema aparentemente simples começou a aprofundar a discussão sobre um novo tipo de número, ainda desconhecido na Matemática:
“Dividir 10 em duas parcelas tais que o seu produto seja 40”.

a) Determine as duas parcelas e expresse-as na forma a + bi, em que a,b são números reais
e $i^{2}$= -1

b) Expresse as duas parcelas do item A na forma de pares ordenados (a,b) e represente-os
graficamente no plano cartesiano.

c) Calcule, na forma decimal aproximada, a área do triângulo cujos vértices são os dois
pares ordenados do item B e a origem.
Se precisar, use as aproximações:
$\sqrt{3}$=1,7; $\sqrt{5}$=2,2

d) Encontre uma equação polinomial de coeficientes inteiros com o menor grau possível, sendo dadas três de suas raízes: as duas parcelas do item A e o número complexo –i.

Answer 1

Com o estudo sobre números complexos, temos as seguintes resposta

• a)As duas parcelas: $\begin{pmatrix}x=5-\sqrt{15}i,\:&y=5+\sqrt{15}i\\ x=5+\sqrt{15}i,\:&y=5-\sqrt{15}i\end{pmatrix}$
• b)Os pares ordenados: $(5,\sqrt{15})$ e $(5,-\sqrt{15})$
• c)Sua área vale 18,7
• d)A equação polinomial é: $x^4-10x^3+41x^2-10x+40=0$

Números complexos

Um número complexo é a soma de um número real e um número imaginário. Um número complexo é da forma a + ib e geralmente é representado por z. Aqui tanto a como b são números reais. O valor 'a' é chamado de parte real que é denotado por Re(z), e 'b' é chamado de parte imaginária Im(z). Além disso, ib é chamado de número imaginário.

z = a + bi

A letra i é chamado de iota e é útil para representar a parte imaginária do número complexo. Além disso, o iota(i) é muito útil para encontrar a raiz quadrada de números negativos. Temos o valor de i² = -1, e isso é usado para encontrar o valor de $\sqrt{-4}=\sqrt{i^2.4}=\pm2i$ .O valor de i² = -1 é o aspecto fundamental de um número complexo.

Resolvendo o exercício, temos

a)

$\begin{bmatrix}xy=40\\ x+y=10\end{bmatrix}$

$\mathrm{Inserir\:as\:solucoes\:}x=\dfrac{40}{y}\mathrm{\:em\:}x+y=10$

$\mathrm{Inserir\:as\:solucoes\:}y=5+\sqrt{15}i,\:y=5-\sqrt{15}i\mathrm{\:em\:}xy=40$

$\begin{pmatrix}x=5-\sqrt{15}i,\:&y=5+\sqrt{15}i\\ x=5+\sqrt{15}i,\:&y=5-\sqrt{15}i\end{pmatrix}$

b)

As duas parcelas são os pares ordenados: $(5,\sqrt{15})$ e $(5,-\sqrt{15})$

Gráfico em anexo

c)

$\dfrac{2\sqrt{15}\cdot 5}{2}=\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}\cdot 5=2,2\cdot 1,7\cdot 5=18,7$

d)

$\left(x-i\right)\left(x+i\right)\left(x-5+\sqrt{15}i\right)\left(x-5-\sqrt{15}i\right)=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left(x^2+1\right)\left[\left(x-5\right)^2+15\right]=0 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left(x^2+1\right)\left(x^2-10x+40\right)=0\:\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \:x^4-10x^3+41x^2-10x+40=0$

Saiba mais sobre números complexos: https://brainly.com.br/tarefa/47813228

#SPJ1