Question

Eliminando θ das equações


$\begin{cases} x\:\!sen(\theta)+y\:\!\:\!cos(\theta)=2\:\!\:\!a\:\!sen(2\:\!\theta)\\ x\:\!cos(\theta)-y\:\!sen(\theta)=a\:\!\:\!cos(2\:\!\theta)\end{cases}$

obtemos:

$a)\ (x-y)^{2/3}-(x+y)^{2/3}=2\:\!a^{2/3}\\\\b)\ (x+y)^{2/3}+(x-y)^{2/3}=2a^{2/3}\\\\ c)\ (x+y)^{2/3}+(y-x)^{2/3}=a^{2/3}\\\\ d)\ (x+y)^{2/3}+(x-y)^{2/3}=\dfrac{a^{2/3}}{2}\\\\ e)\ N.D.A.$


OBS: a é uma constante real.

Answer 1

Sendo a uma constante real arbitrária, o exercício solicita a eliminação do número real θ de ambas as equações do sistema

$\begin{cases}\sf x\:\!sen(\theta)+y\:\!\:\!cos(\theta)=2\:\!a\:\!sen(2\:\!\theta)\\ \sf x\:\!cos(\theta)-y\:\!sen(\theta)=a\:\!cos(2\theta)\end{cases}$

Para encontrar o valor de x, multiplicaremos sua primeira e segunda equações por sen(θ) e cos(θ), respectivamente. Dessa forma, o sistema acima tornar-se-á

$\begin{cases}\sf x\:\!sen^2(\theta)+y\:\!\:\!sen(\theta)cos(\theta)=2a\:\!sen(\theta)\:\!sen(2\:\!\theta)}\\ \sf x\:\!cos^2(\theta)-y\:\!sen(\theta)\!\:\!\:\!\:\!cos(\theta)=a\:\!cos(\theta)\:\!cos(2\:\!\theta)\end{cases}$

Em seguida, adicionando membro a membro estas duas "novas" equações e usando sen²(θ) + cos²(θ) = 1 (para qualquer θ real), obteremos:

$\sf x\:\!sen^2(\theta)+x\:\!cos^2(\theta)=2a\:\!sen(\theta)\:\!sen(2\theta)+a\:\!cos(\theta)\:\!cos(2\theta)\\\\ x\big[sen^2(\theta)+cos^2(\theta)\big]\!\:\!=a\big[2\:\!\:\!sen(\theta)\:\!sen(2\:\!\theta)+cos(\theta)cos(2\:\!\theta)\big]\\\\ x=a\big[2\:\!\:\!sen(\theta)\:\!sen(2\:\!\theta)+cos(\theta)cos(2\:\!\theta)\big]$

Subsequentemente, multiplicando a primeira e segunda equações do sistema inicial por cos(θ) e sen(θ), respectivamente, encontraremos:

$\begin{cases}\sf x\:\!sen(\theta)\:\!cos(\theta)+y\:\!cos^2(\theta)=2\:\!a\:\!cos(\theta)sen(2\theta)\\ \sf x\:\!sen(\theta)\:\!cos(\theta)-y\:\!sen^2(\theta)=a\:\!sen(\theta)cos(2\theta)\end{cases}$

Analogamente ao que foi feito para x, o valor de y é facilmente obtido a partir deste terceiro e último sistema (imediatamente acima). Mais precisamente, subtraindo (membro a membro) sua segunda equação da primeira, teremos:

$\sf y\:\!cos^2(\theta)-\!\:\!\:\!\big[\!\!\:\!\:\!-y\:\!sen^2(\theta)\big]=2a\:\!cos(\theta)sen(2\:\!\theta)-a\:\!sen(\theta)\:\!cos(2\:\!\theta)\\\\ y\big[cos^2(\theta)+sen^2(\theta)\big]\!\:\!=a\big[2\:\!\:\!cos(\theta)\:\!sen(2\theta)-sen(\theta)cos(2\theta)\big]\\\\ y=a\big[2\:\!\:\!cos(\theta)\:\!sen(2\theta)-sen(\theta)cos(2\theta)\big]$

Com base nos valores adquiridos para x e y, temos que sua soma x + y é

$\sf x+y=a\big[2\:\!\:\!sen(\theta)\:\!sen(2\theta)+2\:\!cos(\theta)\:\!sen(2\:\!\theta)+cos(\theta)\:\!cos(2\:\!\theta)-sen(\theta)\:\!cos(2\:\!\theta)\big]$

Agora, relembrando que

$\begin{cases}\sf sen(2\:\!\theta)=2\:\!\:\!sen(\theta)\:\!cos(\theta)\\\\ \sf cos(2\theta)=2\:\!cos^2(\theta)-1=1-2\:\!sen^2(\theta)\\\\ \sf sen^2(\theta)+cos^2(\theta)=1\end{cases}$

, para todo θ real, ficaremos com

$\sf x+y=a\big\{\!\:\!\:\!3\big[cos(\theta)+sen(\theta)\big]\!-2\big[cos^3(\theta)+sen^3(\theta)\big]\!\big\}\qquad(\:I\:)$

Substituindo x por cos(θ) e y por sen(θ) na identidade algébrica x³ + y³ = (x + y)(x² + y² – xy), a equação ( I ) transforma-se em:

$\sf x+y=a\big\{\!\:\!\:\!3\big[cos(\theta)+sen(\theta)\big]\!-2\big[cos(\theta)+sen(\theta)\big]\!\big[1-cos(\theta)\:\!sen(\theta)\big]\!\big\}\\\\ x+y=a\big[cos(\theta)+sen(\theta)\big]\!\big[3-2+2\:\!\:\!sen(\theta)cos(\theta)\big]\\\\ x+y=a\big[cos(\theta)+sen(\theta)\big]\!\big[1+sen\!\:\!\:\!(2\theta)\big]$

E, consequentemente,

$\sf {\!\!(x+y)^2=a^2\big[1+sen(2\:\!\theta)\big]^{\!\:\!\:\!2}\big[cos^2(\theta)+2\:\!cos(\theta)\:\!sen(\theta)+sen^2(\theta)\big]}\\\\ {\!\!(x+y)^2=a^2\big[1+sen(2\:\!\theta)\big]^{\!\:\!\:\!2}\big[1+sen(2\:\!\theta)\big]}\\\\ {\!\!(x+y)^2=a^2\big[1+sen(2\:\!\theta)\big]^{\!\:\!\:\!3}}\\\\ {\!\!(x+y)^{2/3}=a^{2/3}\big[1+sen(2\:\!\theta)\big]\qquad(\:II\:)$

A partir dos valores adquiridos para x e y, a diferença x – y vale

$\sf x-y=a\big[2\:\!\:\!sen(\theta)\:\!sen(2\theta)-2\:\!cos(\theta)\:\!sen(2\:\!\theta)+cos(\theta)\:\!cos(2\:\!\theta)+sen(\theta)\:\!cos(2\:\!\theta)\big]$

Usando novamente todas as identidades trigonométricas fornecidas anteriormente, ficamos com

$\sf x-y=a\big\{\!\:\!\:\!3\big[cos(\theta)-sen(\theta)\big]\!-2\big[cos^3(\theta)-sen^3(\theta)\big]\!\big\}\qquad(\:III\:)$

Substituindo x por cos(θ) e y por sen(θ) na identidade algébrica x³ – y³ = (x – y)(x² + y² + xy), a equação ( III ) torna-se:

$\sf x-y=a\big\{\!\:\!\:\!3\big[cos(\theta)-sen(\theta)\big]\!-2\big[cos(\theta)-sen(\theta)\big]\!\big[1+cos(\theta)\:\!sen(\theta)\big]\!\big\}\\\\ x-y=a\big[cos(\theta)-sen(\theta)\big]\!\big[3-2-2\:\!\:\!sen(\theta)cos(\theta)\big]\\\\ x-y=a\big[cos(\theta)-sen(\theta)\big]\!\big[1-sen\!\:\!\:\!(2\theta)\big]$

E, como consequência,

$\sf {\!\!(x-y)^2=a^2\big[1-sen(2\:\!\theta)\big]^{\!\:\!\:\!2}\big[cos^2(\theta)-2\:\!cos(\theta)\:\!sen(\theta)+sen^2(\theta)\big]}\\\\ {\!\!(x-y)^2=a^2\big[1-sen(2\:\!\theta)\big]^{\!\:\!\:\!2}\big[1-sen(2\:\!\theta)\big]}\\\\ {\!\!(x-y)^2=a^2\big[1-sen(2\:\!\theta)\big]^{\!\:\!\:\!3}}\\\\ {\!\!(x-y)^{2/3}=a^{2/3}\big[1-sen(2\:\!\theta)\big]\qquad(\:IIII\:)$

Por fim, adicionando membro a membro as equações ( II ) e ( IIII ), chegamos ao resultado:

$\large\boxed{\sf (x+y)^{2/3}+(x-y)^{2/3}=2\:\!a^{2/3}}$

Resposta: letra b).