Question

eja a função f(x) = x2 - 6x + 9.

Sejam duas retas tangentes ao gráfico desta função. Uma das retas é tangente ao ponto P(4,1).

A outra tangente intercepta a primeira reta tangente no ponto de ordenada igual a -1

O ponto de tangência entre a segunda reta e o gráfico de f(x) tem coordenadas (a , b), com a e b reais.

Determine o valor de a + b.

Answer 1

Resposta:

a + b = 3

( ver em anexo o gráfico das funções deste exercício )

Explicação passo a passo:

A função f(x) = x² - 6x + 9 tem como representação gráfica uma parábola.

As retas tangentes à parábola são de dois tipos:

1) tangente à parábola no vértice da curva; esta tangente é única, pelo que

não será a que nos interessa

2) retas do tipo y = mx + n                [ 1 ]

Esta é a equação de uma função afim, onde :

m = coeficiente angular

n = coeficiente linear

Repare que "m = coeficiente angular " está a referir-se ao ângulo que a reta

faz com o eixo do x.

Sendo assim "m" ,também chamado de declive da reta , tem valor igual à

a tangente do ângulo que a reta faz com eixo do x.

Pode-se calcular o valor desse declive  à custa da 1ª derivada da função f(x)

no ponto de tangência.

m = derivada em ordem a x,  da função f(x)

derivada de f(x) = ( x²  - 6x + 9 ) '

assim f' (x) = 2x - 6

Logo m = 2x - 6  

Mas o ponto de tangência, P tem de coordenadas ( 4 ; 1 )

Pegando na coordenada em x , temos imediatamente o valor de "m"

m = 2*4 - 6

m = 2

Já temos uma parte da expressão da função afim :

y = 2x + n

Para calcular o valor de "n" usamos as coordenadas do ponto P ( 4;1 )

1 = 2*4 + n

n = - 8 + 1

n = - 7

Já temos a equação da reta tangente, que passa no ponto P.

g(x) = 2x - 7    

A outra reta tangente interseta a primeira tangente no ponto ( x ; - 1 )

Para encontrar a coordenada em x dessa segunda tangente, vamos  

descobri-lo à custa de y = 2x - 7

- 1 = 2x - 7

- 1 + 7 = 2x

6 = 2x

x = 3

O ponto de interseção das duas tangentes tem de coordenadas ( 3 ; - 1)

Se temos duas retas tangentes à parábola , que se intersetam num ponto,

estamos a falar de duas retas simétricas em relação ao eixo de simetria da

parábola.

O quer dizer que o ponto (Q) de tangência ,da segunda tangente, vai ter a

mesma ordenada que a primeira tangente.

Coordenadas ( x ; 1 )   por referência a P ( 4 ; 1)

Mas,    

obviamente , que este ponto de tangência pertence à parábola.

Daí

podermos determinar a coordenada que falta usando a expressão de f(x)

1 =  x² - 6x + 9

x² - 6x + 9 - 1 = 0

x² - 6x + 8 = 0

a =   1

b = - 6

c =   8

Δ = b² - 4 * a * c

Δ = ( - 6 ) ² - 4 * 1 * 8 = 36 - 32 = 4

√Δ = √4 = 2

$x_{1} =\frac{-(-6)+2}{2*1} =\frac{8}{2} =4$    

ficaria ponto de coordenadas ( 4 ; 1 )

Mas este ponto já é dado no enunciado. Não é o que procuramos.

Buscar a segunda solução da equação do 2º grau

$x_{2} =\frac{-(-6) -2}{2} =\frac{6-2}{2} =2$

Ficaria o ponto de coordenadas ( 2 ; 1 )

Ótimo. É este ponto que nos interessa.

     

No entanto o que se pede no enunciado é o valor da soma das

coordenadas deste ponto

2 + 1 = 3

Observação 1 → Para efeitos de gráfico vou calcular a expressão da função

h(x) que corresponde à segunda reta tangente a f(x)

Também do tipo y = mx  + n

Passa nos pontos ( 2 ; 1 ) e ( 3 ; - 1 )    

$m=\frac{-1-1}{3-2} =\frac{-2}{1} =-2$

y = - 2x + n

Cálculo do "n"

1 = - 2 * 2 + n

1 + 4 = n

5 = n

y = - 2x + 5

Observação 2 → O calculo do "m",  quando se conhecem dois pontos de

uma reta , é dado pela diferença das coordenadas em y a dividir pela

diferença das coordenadas em x

[ 1 ] a expressão y = mx + n é muitas vezes substituída  por y = ax + b

"a" e "b" têm exatamente as mesmas designações que "m" e "n"  

 

Bom estudo.  

-------------------------------

Símbolos: ( * ) multiplicação      ( ' )  primeira derivada

( $x_{1}$  e $x_{2}$ ) designações atribuídas às soluções da equação 2º grau

( Q ) segundo ponto de tangência

Answer 2

Resposta:

A resposta correta é: 3

Explicação passo a passo:

Gabarito estácio.