Question

"Eixos e tubos de seções transversais circulares são frequentemente usados para transmitir potência desenvolvida por uma máquina. Quando usados para essa finalidade, estão sujeitos a torques que dependem da potência gerada pela máquina e da velocidade angular do eixo." (Hibbeler, 2010, p. 132)


Para um eixo de transmissão vazado com diâmetro externo de 60 mm deve ter uma potência de 150 kW girando a uma frequência de 30 Hz . Determine a espessura deste eixo sabendo que não deve exceder a tensão de cisalhamento de 50MPa .

Answer 1

A espessura do eixo de transmissão precisa ser de, no mínimo, 3,3 mm para não exceder a tensão de cisalhamento máxima.

Dados:

$D_{ext}=60\:mm=60\times 10^{-3}\:m$

$r_{ext}=30\:mm=30\times 10^{-3}\:m$

$f=30\:Hz$

$P=150\:kW=150\times 10^{3}\:W$

$\tau_{max}=50\:MPa=50\times 10^{6}\:Pa$

Determinar: $\delta=?$

O primeiro passo para a nossa análise deste eixo é determinar o seu torque. Para tal, devemos utilizar a relação de potência de um eixo, a qual é definida por:

$P=2\cdot \pi\cdot f\cdot T$

na qual P é a potência transmitida pelo eixo, em W; f é a frequência com que o eixo rotaciona, em Hz; e T é o torque do eixo, em N.m.

Rearranjando a equação anterior e substituindo os valores conhecidos, temos que o torque deste eixo é de:

$T=\frac{P}{2\cdot \pi\cdot f}$

$T=\frac{150\times 10^{3}}{2\cdot \pi\cdot 30}$

$\boldsymbol{T=795,77\:N.m}$

O segundo passo consiste em determinar o raio interno do eixo vazado. Para isso, iremos utilizar a equação de tensão máxima de cisalhamento que um eixo pode suportar, a qual é dada por:

$\tau_{max}=\frac{T\cdot r_{ext}}{J}$   (1)

na qual $\underline{\tau_{max}}$ é a tensão de cisalhemtno máxima que o eixo pode suportar, em Pa; $\underline{r_{ext}}$ é o raio externo do eixo vazado, em m; e J é o momento polar de inércia, em $m^4$.

Para um eixo vazado, o momento polar de inércia é dado por:

$J=\frac{\pi}{2}\cdot \left(r_{ext}^4-r_{int}^4\right)$   (2)

na qual $\underline{r_{int}}$ é o raio interno do eixo vazado, em m.

Substituindo a Eq. (2) na Eq.(1) e resolvendo para o raio interno:

$\tau_{max}=\frac{2\cdot T\cdot r_{ext}}{\pi\cdot \left(r_{ext}^4-r_{int}^4\right)}$

$\pi\cdot \left(r_{ext}^4-r_{int}^4\right)=\frac{2\cdot T\cdot r_{ext}}{\tau_{max}}$

$\pi\cdot r_{ext}^4-\pi\cdot r_{int}^4=\frac{2\cdot T\cdot r_{ext}}{\tau_{max}}$

$\pi\cdot r_{int}^4=\pi\cdot r_{ext}^4-\frac{2\cdot T\cdot r_{ext}}{\tau_{max}}$

$r_{int}^4=r_{ext}^4-\frac{2\cdot T\cdot r_{ext}}{\pi\cdot \tau_{max}}$

$r_{int}=\left[r_{ext}^4-\frac{2\cdot T\cdot r_{ext}}{\pi\cdot \tau_{max}}\right]^{1/4}$

$r_{int}=\left[\left(30\times 10^{-3}\right)^4-\frac{2\cdot 795,77\cdot 30\times 10^{-3}}{\pi\cdot 50\times 10^{6}}\right]^{1/4}$

$\boldsymbol{r_{int}\approx 0,0267\:m\approx 26,7\:mm}$

Por fim, determinamos a espessura do eixo através da diferença entre os raios externo e interno, de modo que:

$\delta=r_{ext}-r_{int}$

$\delta=30-26,7$

$\boldsymbol{\delta=3,3\:mm=3,3\times10^{-3}\:m}$

Mais sobre o assunto em: https://brainly.com.br/tarefa/25862989