Question

Efetue


$\mathsf{\dfrac{\sqrt{\dfrac{2017!(3!+955)}{2017!\cdot2017^0}}+log_7~823.543+\sqrt[7]{\dfrac{10^{777}}{10^{770}}}}{-2\cdot i^{550}}}$

Answer 1

Olá, Luis Felipe. :)

 

Temos a expressão:

$\mathsf{\dfrac{\sqrt{\dfrac{2017!(3!+955)}{2017!\cdot2017^0}}+log_7~823.543+\sqrt[7]{\dfrac{10^{777}}{10^{770}}}}{-2\cdot i^{550}}}$

 

Por ser uma questão relativamente grande, vou fazer algumas alterações logo no início.

 

Primeiro, fatorar o 823.543. Teremos:

$\begin{array}{r|l}823.543&7\\117.649&7\\16.807&7\\24.01&7\\343&7\\49&7\\7&7\\1\end{array}$

 

Temos, então, que 823.543 vale 7⁷.

 

--------------------

 

Considerando o i como “imaginário” (do conjunto dos números complexos), podemos descobrir seu valor a partir do resto de uma divisão, onde este vai determinar o expoente, seguindo a regra:

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = -1

i³ = -i

 

(A divisão foi adicionada em anexo)

 

i⁵⁵⁰ pode ser considerado como i², logo, vale -1.

--------------------

Substituindo na expressão, vamos começar a calcular:

$\mathsf{\dfrac{\sqrt{\dfrac{2017!(3!+955)}{2017!\cdot2017^0}}+log_7~823.543+\sqrt[7]{\dfrac{10^{777}}{10^{770}}}}{-2\cdot i^{550}}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{\sqrt{\dfrac{2017!(3!+955)}{2017!\cdot2017^0}}+log_7~7^7+\sqrt[7]{\dfrac{10^{777}}{10^{770}}}}{-2\cdot (-1)}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{\sqrt{\dfrac{~\not\!\!\!\!2017!(3!+955)}{~\not\!\!\!\!2017!\cdot2017^0}}+log_7~7^7+\sqrt[7]{\dfrac{10^{777}}{10^{770}}}}{2}=}$

$\mathsf{\dfrac{\sqrt{\dfrac{(3!+955)}{2017^0}}+log_7~7^7+\sqrt[7]{\dfrac{10^{777}}{10^{770}}}}{2}}$

--------------------

Como propriedade, temos que todo número elevado a zero tem como resultado o valor 1. Sendo assim, temos:

2017⁰ = 1

O número com o ponto de exclamação no final "!" refere-se a fatorial, o que quer dizer que esse número é o produto de todos seus antecessores naturais. Sendo assim, temos:

3! = 3 • 2 • 1

3! = 6

Quando se tem 1 no denominador, podemos simplesmente ignorá-lo.

--------------------

$\mathsf{\dfrac{\sqrt{\dfrac{(3!+955)}{2017^0}}+log_7~7^7+\sqrt[7]{\dfrac{10^{777}}{10^{770}}}}{2}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{\sqrt{\dfrac{(6+955)}{1}}+log_7~7^7+\sqrt[7]{\dfrac{10^{777}}{10^{770}}}}{2}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\sqrt{961}+log_7~7^7+\sqrt[7]{\dfrac{10^{777}}{10^{770}}}}{2}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{31+log_7~7^7+\sqrt[7]{\dfrac{10^{777}}{10^{770}}}}{2}}$

--------------------

Para resolver o logaritmo, usaremos a forma 

$\mathsf{log_b~x=y,~~~~b^y=x}$, onde:

b é a base;
x é o logaritmando;
y é o logaritmo.

Como já temos simplificado, teremos:

log₇ 7⁷

Na forma $\mathsf{b^y=x}$, temos que o resultado é 7. Sendo assim, podemos substituir.

--------------------

$\mathsf{\dfrac{31+log_7~7^7+\sqrt[7]{\dfrac{10^{777}}{10^{770}}}}{2}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{31+7+\sqrt[7]{\dfrac{10^{777}}{10^{770}}}}{2}}$

--------------------

Em divisões de potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos os expoentes. Sendo assim, no caso da fração dentro raiz, teremos:

$\mathsf{\dfrac{31+7+\sqrt[7]{\dfrac{10^{777}}{10^{770}}}}{2}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{31+7+\sqrt[7]{10^{777-770}}}{2}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{31+7+\sqrt[7]{10^{7}}}{2}}$

Como o índice e o expoente de 10 são iguais, temos que o resultado da raiz será apenas 10. Substituindo, vamos finalizar:

$\mathsf{\dfrac{31+7+\sqrt[7]{10^{7}}}{2}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{31+7+10}{2}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{38+10}{2}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{48}{2}=}\\\\\\ \boxed{\mathsf{24}}$

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.

Bons estudos.

Answer 2

i^4=(-1)²=1
550=112*4 + 2
i^550 = (i^4)^112 * i²=-1
-2*i^550 =2


√[2017!*(3!+955)/(2017!*2017º]
√[1*(6+955)/(1*1]
=√(961)=31

log[7] 823543 
= log[7] 7^7
=7 * log[7] 7=7

10^(777)/(10^(770)
=10^(777-770)
=10^7
(10^7)^(1/7)=10

=(31+7+10)/2=48/2=24 é a resposta